Produit scalaire, propriétés

Produit scalaire, propriétés

Produit scalaire, propriétés

 

Définitions

 

Il existe plusieurs façons de définir le produit scalaire. 

1) Avec les coordonnées 

Soient $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} x \ y \ \end{array} \right )$ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} x’ \ y’ \ \end{array} \right )$ deux vecteurs,
le produit scalaire de $overrightarrow{u}$ scalaire $overrightarrow{v}$ vaut $overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = {xx}’ + {yy}’$. 

Exemple :

si $overrightarrow{u} \left ( \begin{array}{c} 2 \ 3 \ \end{array} \right )$ et $overrightarrow{v} \left ( \begin{array}{c} 4 \ -1 \ \end{array} \right )$ alors $overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 5$. 

Le résultat d’un produit scalaire n’a pas d’unité. 

On prêtera une attention particulière au fait d’utiliser un point pour signifier le produit scalaire entre deux vecteurs. 

A partir des coordonnées, il est possible de calculer la norme d’un vecteur, c’est à dire sa longueur : $| overrightarrow{u} | = sqrt{x^2 + y^2}$.  

 

2) Avec l’angle

Capture1_1

On dispose ici de la norme de $overrightarrow{u}$ notée $| overrightarrow{u} |$ qui correspond à la longueur du vecteur et de la norme de $overrightarrow{v}$ notée $| overrightarrow{v} |$ ainsi que de l’angle orienté $(overrightarrow{u}, overrightarrow{v})$. 

Dans ce cas, le produit scalaire vaut : $overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = | overrightarrow{u} | times | overrightarrow{v} | \times cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v})$. 

Cela permet aussi d’exprimer le cosinus de l’angle : $cos(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = dfrac{overrightarrow{u} . overrightarrow{v}}{ | overrightarrow{u} | times | overrightarrow{v} |}$.

Dans certains exercices, on utilisera les coordonnées pour calculer le produit scalaire et la normes des vecteurs et on en déduire à partir de la formule précédente le cosinus de l’angle. 

Exemple : Si $| overrightarrow{u} | = 2$, $| overrightarrow{v} | = 3$ et $(overrightarrow{u}, overrightarrow{v}) = dfrac{pi}{3} (2pi)$, alors $overrightarrow{u} . overrightarrow{v} = 2 \times 3 \times \cos \left ( dfrac{pi}{3} \right )  = 3$. 

Ainsi, cette formule s’utilise dès lors que l’on connait un angle. 

 

3) Avec le projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite $(d)$ correspond à l’intersection de la droite perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par ce point avec la droite $(d)$.

912bbdb4f19793928d994e14989a9455774d4e75.png

Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$,

alors $ overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB}.overrightarrow{AH}$.

Or les vecteurs $overrightarrow{AB}$ et $overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Ainsi l’angle les séparant vaut soit 0 soit $pi$ selon que les vecteurs sont dans le même sens ou dans le sens contraire. 

Ainsi, $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AH}$ sera égal au produit des normes multiplié par $pm 1$ selon le sens des vecteurs. 

 

4) Autres formules

Il existe deux autres formules moins utilisées permettant de calculer le produit scalaire de $overrightarrow{u}$ scalaire $overrightarrow{v}$:
$overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left ( | overrightarrow{u + v} |^2 – | overrightarrow{u} |^2 – | overrightarrow{v} |^2 \right )$

$overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} left (| overrightarrow{u} |^2 + | overrightarrow{v} |^2 -| overrightarrow{u – v} |^2 \right )$

 

Propriété

 

Capture2_1

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (avec $ overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ et $overrightarrow{v} neq overrightarrow{0}$). 

C’est à dire si $ overrightarrow{u}. overrightarrow{v}=0$