Puissance d'une matrice

Puissance d’une matrice carrée

 

Définition : matrice diagonale $D_n$

 

Une matrice est diagonale lorsque les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls.

Voici un exemple de matrice diagonale d’ordre 3.

$D_3=begin{pmatrix}
3 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0\
0 & 0 & 2\
end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice diagonale $D_n$

 

Si on souhaite obtenir par exemple le carré de la matrice $D_3$, on élève au carré chaque coefficient de la diagonale. Ainsi :

 

$D_3^{2}=begin{pmatrix}
3^2 & 0 & 0 \
0 & (-1)^2 & 0\
0 & 0 & 2^2\
end{pmatrix} $    $iff$   $D_3^{2}=begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 4\
end{pmatrix} $

Puissance d’une matrice carrée

 

De façon générale, pour toute matrice carrée $A$ et pour tout entier $ngeqslant {2}$ 

$A^2= A times A$;

$A^3= A^2 times A =A times A^2$

$A^n= A^{n-1}times A=Atimes A^{n-1}$

Exemple

Par multiplications successives, on obtient aisément les puissances d’une matrice carrée d’ordre 2.

$A =begin{pmatrix}
2 & -1 \
3 & 1\
end{pmatrix}$ 

$A^2 =begin{pmatrix}
1 & -3 \
9 & -2\
end{pmatrix}$ 

$A^3 =begin{pmatrix}
-7 & -4 \
12 & -11\
end{pmatrix}$