Quadrilatères et parallélogrammes

Le quadrilatère

Quadrilatère

 

Définition

 

Un quadrilatère est une figure géométrique (ou polygone) à quatre côtés.

 

Vocabulaire

quadrilatere

  • Un quadrilatère a quatre points ou sommets.
  • Les diagonales sont les segments qui lient deux sommets non-consécutifs.
  • Il faut distinguer les côtés consécutifs (qui se suivent) des côtés opposés.
  • Pour nommer un quadrilatère il faut choisir un sommet et tourner autour de la figure sans passer à l’intérieur.

 

Les quadrilatères particuliers

Les quadrilatères particuliers

 

Le quadrilatère

 

Un quadrilatère est une figure géométrique qui a quatre côtés.

 

quadrilater-6e

  • P, A, U et L sont les quatre SOMMETS
  • [PA], [AU], [UL] et [LP] sont les quatre COTES
  • [PU] et [LA] sont les DIAGONALES
  • [PA] et [AU] sont deux côtés consécutifs
  • [PA] et [LU] sont deux côtés opposés.

Le quadrilatère ci-dessus se nomme PAUL.

 

Commentaire

On peut aussi le nommer AULP ou PLUA : l’important est de donner les lettres en tournant autour de la figure, sans partir en diagonale (par exemple, PALU n’est pas un nom correct pour la figure dessinée ci-dessus)

 

Le trapèze

 

Un quadrilatère est un trapèze quand il a deux côtés parallèles.

BLEU est un trapèze car les cotés [BL] et [UE] sont parallèles.

trapeze-6e

 

 

Le parallélogramme

 

Un quadrilatère est un parallélogramme quand ses côtés opposés sont parallèles.

ROSE est un parallélogramme car les côtés [RO] et [ES], ainsi que [RE] et [OS] sont parallèles

parallelogramme-definition-6e

 

Le rectangle

 

 

Un quadrilatère est un rectangle ayant quatre angles droits.

LONI EST UN RECTANGLE car ses angles sont tous des angles droits.

rectangle-definition-6e

Propriété des diagonales : ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont de même longueur

Y est le point d’intersection des diagonales : c’est le milieu de [LN] et [OI]. De plus, les diagonales [LN] et [OI] ont la même longueur : LN=OI.

Réciproquement, quand un quadrilatère possède des diagonales qui se coupent en leurs milieux et qui sont de même longueur, c’est un rectangle.

diagonales-rectangle-6e

Propriété des cotés : les cotés opposés ont la même longueur : LO=IN et LI=ON.

 

Le plus des bons profs :

Tu peux coder ainsi la figure pour bien montrer que les cotés opposés sont de même longueur.

codage-rectangle-6e

 

 

Le losange

losange-definition-6e

Un  quadrilatère est un losange quand il a quatre côtés de la même longueur.

VERT est un losange car ses quatre côtés mesurent 5 cm et ont donc tous la même longueur.

On peut écrire : VE=ER=RT=TV=5cm

 

 

Propriété des diagonales : ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont perpendiculaires. I est le point d’intersection des diagonales : c’est le milieu de [VR] et [TE].

De plus, les diagonales [VR] et [TE] sont perpendiculaires.

diagonales-losange-6e

Réciproquement, quand un quadrilatère possède des diagonales qui se coupent en leurs milieux et qui sont perpendiculaires, c’est un losange.

Propriété des angles : dans un losange les angles opposés sont de même mesure.

 

 

Le plus des bons profs : observe cette figure du losange, elle est entièrement codée, et donne toutes les longueurs ou angles égaux.

codage-losange-6e

Le carré

Un quadrilatère est un carré lorsque ses quatre angles sont droits et ses quatre côtés de la même longueur. 

CHAT est un carré.

carre-definition-6e

 

Propriété : Un carré est à la fois un rectangle (tous les angles sont droits) et un losange (les cotés ont la même longueur).

Propriété des diagonales: ses diagonales se coupent en leurs milieux, sont perpendiculaires et de même longueur.

 

Réciproquement, quand un quadrilatère possède des diagonales qui se coupent en leurs milieux, qui sont perpendiculaires et de même longueur, c’est un carré.

diagonales-carre-6e

Le plus des bons profs : un carré a quatre axes de symétrie : ce sont les deux diagonales et les médiatrices des côtés opposés (la médiatrice est la droite qui coupe un segment en son milieu et lui est perpendiculaire)

    

Parallélogrammes

Parallélogrammes

 

Définition :

 

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Voici un parallélogramme ABCD :

parallélogramme_6e

On a : 

  • $(AB)$//$(DC)$
  • $(AD)$//$(BC)$

 

 

Commentaires :

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont (deux à deux) parallèles.

Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont (2 à 2) parallèles, alors il s’agit d’un parallélogramme.

 

Propriétés

parallélogrammes_diagonales_angles

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

  • Ses diagonales (en rose) se coupent en leurs milieux (noté I sur la figure)
  • Ses côtés opposés  (en \vert clair ou vert foncé) sont de même longueur.
  • Ses angles opposés sont de même mesure
  • De plus, la somme de deux angles consécutifs (qui se suivent) est égale à 180°.

Le plus des bons profs

Les losanges, rectangles ou carrés sont tous des parallélogrammes particuliers (car ils ont bien des cotés opposés parallèles)