Racines carrées - Définition

Racines carrées – Définition 

 

1) Définition 

Pour tout nombre positif ou nul $a$, la racine carrée d’un nombre est le nombre qui élevé au carré vaut lui-même, ou encore

pour $a \geq 0$, ${(sqrt{a})}^2 = a$

Il faudra prêter attention au fait que la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas

 

Par exemple,

puisque $3^2 = 9$ alors $sqrt{9} = 3$.

De même, $7^2 = 49$ donc $sqrt{49} = 7$.

La raciné carrée des premiers carrés parfaits est à connaitre. Un carré parfait est le carré d’un entier. 

 

2) Propriété 

Pour tout réel $a$ positif ou nul et $b$ positif et non nul,

la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines : ainsi

$sqrt{a \times b} =  sqrt{a} \times sqrt{b}$.

Par exemple, $sqrt{18} = \sqrt{6 \times 3} = \sqrt{6} \times sqrt{3}$.

 

De même, la racine carrée d’une fraction est égale au rapport da la racine du numérateur par la racine du dénominateur :

$sqrt{dfrac{a}{b}} = dfrac{sqrt{a}}{sqrt{b}}$

Par exemple $sqrt{dfrac{5}{3}} =  dfrac{sqrt{5}}{sqrt{3}}$

 

Ces propriétés sont fausses pour l’addition et la soustraction

En effet, $sqrt{25} = 5$. Or $25 = 16 + 9$ et $sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \neq 5$, donc

$sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + sqrt{b}$.

Racines carrées de 0 à 144

Racines carrées de 0 à 144

 

La racine carrée d’un nombre n’existe que si le nombre est positif ou nul : un nombre négatif n’admet pas de racine carrée

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Il faut au moins connaitre les racines carrées jusqu’à 144.

 

$0^2 = 0$ donc $sqrt{0} = 0$

$1^2 = 1$ donc $sqrt{1} = 1$

$2^2 = 4$ donc $sqrt{4} = 2$

$3^2 = 9$ donc $sqrt{9} = 3$

$4^2 = 16$ donc $sqrt{16} = 4$

$5^2 = 25$ donc $sqrt{25} = 5$

 

De même, 

$sqrt{36} = 6$

$sqrt{49} = 7$

$sqrt{64} = 8$

$sqrt{81} = 9$

$sqrt{100} = 10$

$sqrt{121} = 11$

$sqrt{144} = 12$

 

Enfin, bien qu’elles \ne soient pas exigibles, il est bon de connaitre les racines suivantes :

$sqrt{169} = 13$

$sqrt{196} = 14$

$sqrt{225} = 15$