Racines n-ièmes de l’unité

Racines n-ièmes de l'unité

Les Racines n-ièmes de l’unité

 

Définition :

 

Soit $ ninmathbb{N^*}$, on appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe $z$ qui vérifie $z^n=1$.

 

Intéressons-nous à la recherche des racines n-ièmes de l’unité .

On utilise l’écriture exponentielle d’un nombre complexe :

$exists !rho inmathbb{R^*};;exists ! theta in [0 ; 2pi[;; z=rho e^{itheta}$

Soit $ ninmathbb{N^*}$, on résout $z^n=1$ :

$Leftrightarrowrho^n e^{nitheta}=1$

$Leftrightarrow left{begin{array}{ll}rho^n=1 \ntheta=0+2kpiend{array}right.$

$Leftrightarrow left{begin{array}{ll}rho=1 quad rq:; mathbb{U_n}subsetmathbb{U} \theta=frac{2kpi}{n}quad kinmathbb{Z }end{array}right.$

 

Donc l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité :

$mathbb{U_n}={1,; e^{frac{2Ipi}{n}} ; e^{frac{4Ipi}{n}} ; ,…, ; e^{frac{2(n-1)Ipi}{n}}}$

$mathbb{U_n}={omega_k, 0leq k leq n-1}; , ; omega _k=e^{frac{2ikpi}{n}}= omega _1^k$

 

Il y a donc n racines n-ièmes de l’unité ($card(mathbb{U_n})=n$).

On remarque que la somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle :

$ngeq 2quaddisplaystylesum_{k=0}^{n-1} omega _k=displaystylesum_{k=0}^{n-1} omega _1^k=frac{1- omega _1^n}{1- omega _1}$

 

De plus :

$overline{ omega _k}^n=overline{ omega _k^n}=1 $

Donc $overline{ omega _k} inmathbb{U_n}$

Et $overline{ omega _k}=overline{ e^{frac{2ikpi}{n}}}= e^{frac{-2ikpi}{n}}= e^{frac{2i(n-k)pi}{n}}$

Le conjugué d’une racine n-ième de l’unité est aussi une racine n-ième de l’unité.

 

Quelques cas particuliers :

 

  • $n=2quad mathbb{U_2}={1;-1}$
  • $n=3quad mathbb{U_3}={1; e^{frac{2ipi}{3}}; e^{frac{4ipi}{3}}}={1 ; j ; j^2 }$

Avec $j= e^{frac{2ipi}{3}}$ et $j^2=overline j $

Intéressons nous à l’image dans le plan complexe des racines 3-ièmes de l’unité.

racines_cubique_de_l_unite

$j$ correspond à $-frac{1}{2}+ifrac{sqrt 3}{2}$ et son conjugué $overline j$ est son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

On a $1+j+j^2=0$ et l’image des trois racines cubiques dans le plan complexe forment un triangle équilatéral.

 

$n=4quad mathbb{U_4}={1;i ;-1 ;i }$

racines_quatrieme_de_l_unite

Les 4 points sont sur le cercle trigonométrique et forment le sommet d’un polygone régulier.