Relation de Chasles

Relation de Chasles.

Convention

 

(displaystyleint_{a}^a f(t)dt=0 ) et

(displaystyleint_{a}^b f(t)dt= – int_{b}^a f(t)dt)

 

Propriété

 

Soit (f ) une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous réels $a$, $b$, $c$ de l’intervalle $I$, on a :

(displaystyleint_{a}^c f(t)dt +int_{c}^b f(t)dt =int_{a}^b f(t)dt)

 

Exemple

Réduire les expressions suivantes :

1. (I = displaystyleint_{1}^2 (x^2 – 1) dx + int_{1}^2 dx + int_{2}^3 x^2 dx)

2. (J = displaystyleint_{0}^1 frac{1}{1 + x^2} dx + int_{-2}^0 frac{1}{1 + x^2} dx )

 

Correction

1. Etape 1 : On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les intégrales de mêmes bornes.

(I = displaystyleint_{1}^2 (x^2 – 1+1) dx + int_{2}^3 x^2 dx)

(I = displaystyleint_{1}^2 x^2 dx + int_{2}^3 x^2 dx)

Etape 2 : Les fonctions sont les mêmes et les bornes se suivent, on utilise la relation de Chasles.

(I = displaystyleint_{1}^2 x^2 dx + int_{2}^3 x^2 dx)

(I = displaystyleint_{1}^3 x^2 dx )

2. Etape 1 : La fonction $g(x)=dfrac{1}{1 + x^2}$ est définie et continue sur $[-2;1]$.

On place la seconde intégrale devant la première pour retrouver la propriété.

(J = displaystyleint_{-2}^0 frac{1}{1 + x^2} dx +int_{0}^1 frac{1}{1 + x^2} dx ).

Etape 2 : On peut ainsi utiliser la relation de Chasles.

(J = displaystyleint_{-2}^1 frac{1}{1 + x^2} dx ).

Relation de Chasles -Exercice

Exercice

 

Réduisons les expressions suivantes :

 

(I = displaystyleint_{1}^2 (x^2 – 1) dx + int_{1}^2 dt + int_{2}^3 x^2 dx)

 

Étape 1 : On utilise la linéarité de l’intégrale pour regrouper les intégrales de mêmes bornes.

Étape 2 : Les fonctions sont les mêmes et les bornes se suivent : on utilise la relation de Chasles.

(J = displaystyleint_{0}^1 frac{1}{1 + x^2} dx + int_{-2}^0 frac{1}{1 + x^2} dx ).

Étape 1 : On place la seconde intégrale devant la première pour retrouver la propriété.

Étape 2 : On peut ainsi utiliser la relation de Chasles.