Repères, plans et droites

Espace, droites et plans

Espace, droites et plans

 

Définitions

Une droite de l’espace peut être définie par :

  • deux points ou
  • un point et un vecteur directeur.

droites-espace

 

 

Un plan peut être défini par :

  • trois points non alignés

plan-espace-trois-points

  • Une droite et un point extérieur à la droite

plan-espace-droite-point

  • Deux vecteurs non colinéaires et un point

plan-espace-deux-vecteurs

 

 

Repères et coordonnées

 

Définition

On appelle repère de l’espace tout quadruplet $(O; overrightarrow{i};overrightarrow{j}; overrightarrow{k}) $ constitué d’un point $O$ de l’espace et de trois vecteurs non coplanaires.

On note $(Ox)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{i}$, $(Oy)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{j}$ et $(Oz)$ l’axe dirigé par $overrightarrow{k}$.

Lorsque les droites $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ sont perpendiculaires deux à deux, le repère est dit orthogonal.

Si de plus $||overrightarrow{imath}||=||overrightarrow{jmath}||=||overrightarrow{k}||=1$, le repère est dit orthonormal.

 

Théorème

Soit $(O; overrightarrow{i};overrightarrow{j}; overrightarrow{k}) $ un repère de l’espace. 

Pour tout point $M$ de l’espace, il existe un unique triplet $(x ; y ; z)$ tels que

$overrightarrow{OM}=xoverrightarrow{i}+yoverrightarrow{j}+zoverrightarrow{k}$.

On dit alors que le point $M$ a pour coordonnées $(x ; y ; z)$ et on note $M(x;y;z)$.

 

Repère et coordonnées - Exercice 1

Dans le repère ((A; overrightarrow{AB}; overrightarrow{AD}; overrightarrow{AE})), donnons les coordonnées des sommets du cube.

  • Étape 1 : Pour déterminer les coordonnées, on regarde les déplacements en abscisse, en ordonnée et en côte nécessaires pour se rendre de l’origine (A) au point.

Repère et coordonnées - Exercice 2

1) Calculons les coordonnées de (I), milieu de ([AG]).

  • Étape 1 : On définit les coordonnées de (A) et de (G).
  • Étape 2 : Pour calculer les coordonnées du milieu d’un segment, on fait la demi-somme de chaque coordonnées.

Calculons (AG).

  • Étape 3 : On utilise la formule du cours pour calculer la longueur d’un segment à partir des coordonnées de ses extrémités (A) et (G) :

(AG = sqrt{(x_G – x_A)^2 + (y_G – y_A)^2 + (z_G – z_A)^2}).

Vecteurs colinéaires, applications

Soient (A(1, 3, -2)), (B(4, 0, 2)) et (C(-2, y_C, z_C)).

Déterminons (y_C) et (z_C) tels que (A, B \text{ et \} C) soient alignés.

Objectif : Les points (A, B \text{ et \} C) sont alignés si et seulement si les vecteurs (overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{AC}) sont colinéaires.

  • Étape 1 : On détermine les valeurs des vecteurs (overrightarrow{AB}) et (overrightarrow{AC}).
  • Étape 2 : On cherche (k \in mathbb{R^*}) tel que (overrightarrow{AB} = k overrightarrow{AC}).
  • Étape 3 : On exprime cette égalité sous forme d’un système que l’on peut résoudre.