Résolutions d’équations

Equations et nombres complexes

Résolution d’équations avec des nombres complexes

 

Equations du premier degré

Il y a deux formes d’équations du premier degré avec solutions complexes :

 $bullet$ $az+b=0$ avec $a$ et $b$ dans $mathbb{C}$, dont la résolution se fait comme pour une équation du premier degré avec des réels.

 $bullet$ $az+bbar z +c=0$ avec $a$, $b$ et $c$ dans $mathbb{C}$ dont la résolution se fait en remplaçant $z$ par sa forme algébrique : $z=a+ib$.

 

Exemple

Trouver la ou les solutions de l’équation $(E) : z-bar z+i=0$.

 

On pose $z=a+ib$ la forme algébrique de $z$. On remplace cette forme algébrique de $z$ dans l’équation $(E)$ :

$(a+ib)-overline{(a+ib)}+i=0 Leftrightarrow a+ib-(a-ib)+i=0 Leftrightarrow 2ib=-i Leftrightarrow b=-dfrac12$

Ainsi, les solutions de $(E)$ sont tous les nombres complexes s’écrivant :

$z=a-dfrac12 i$, avec $a$ réel. 

 

Equations du second degré

La forme générale d’une équation du second degré est la suivante :

$boxed{az^2+bz+c=0}$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.

La résolution de cette équation est semblable à celle d’une équation du second degré avec des réels, c’est-à-dire qu’il s’agit de calculer le discriminant de l’équation :

$Delta=b^2-4ac$

Il y aura tout de même des solutions dans le cas du discriminant négatif :

$bullet$ Si $Delta >0$, les deux solutions réelles sont : $z_1=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta=0$, la solution est $z_0=-dfrac{b}{2a}$.

$bullet$ Si $Delta<0$,les deux solutions complexes sont : $z_1=dfrac{-b+isqrt{-Delta}}{2a}$ et $z_2=dfrac{-b-isqrt{-Delta}}{2a}$.

 

Exemple

Trouver les solutions de l’équation : $(F) : z^2+4z+dfrac{25}{4}=0$.

On a $Delta = 16-25=-9 <0$ donc les deux solutions sont :

$z_1=dfrac{-4+3i}{2}$ et $z_2=dfrac{-4-3i}{2}$.

Equations et nombres complexes - Exercice 1

Equations et nombres complexes - Exercice 2

Exercice

 

On veut résoudre l’équation ( -z + 2 bar{z} – 3 + i = 1 ).

Étape 1 : On pose (z = a + ib). On en déduit son conjugué ( bar z = a – ib).

Étape 2 : On remplace (z) et ( bar z ) par leurs valeurs respectives.

Étape 3 : On sait que deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

Étape 4 : On présente les résultats comme un ensemble de solutions.

Equations et nombres complexes - Exercice 3

Exercice

 

On veut résoudre l’équation ( z^2 + z + 1 = 0 ).

Étape 1 : On calcule le discriminant (Delta= b^2-4ac)

Étape 2 : On se met dans le cas d’un discriminant négatif et on définit les solutions (z_1) et (z_2) de l’équation.

Étape 3 : On présente les résultats comme un ensemble de solutions.