Résolutions graphiques d’équations, inéquations

Résolutions graphiques d'équations

Résolutions graphiques d’équations

 

Considérons deux fonctions $f$ et $g$ représentant la température au cours du temps dans deux villes différentes.

 

 

Equations du type $f(t)=k$  avec  $kin mathbb{R}$

 

Résoudre l’équation $f(t) = 14$ revient à chercher les antécédents de 14 par la fonction $f$. 

Pour se faire, on se place sur l’axe des ordonnées(l’axe des températures ici) et on trace la droite perpendiculaire à cet axe puis on regarde les points d’intersection entre la droite et la courbe de température et finalement, on lit leur abscisse.

Ici, il y a deux points d’intersections pour lesquels la température est de 14°C et donc deux heures différentes : 12h et 18h. Ainsi $S = {12; 18}$. 

 

Résoudre l’équation $f(t) = 8$ revient à chercher les antécédents de 8 par la fonction $f$.

Or il \ne fait jamais 8°C, c’est à dire que la droite perpendiculaire à l’axe des ordonnées passant par $y = 14$ \ne coupe jamais la courbe de $f$.

Ainsi $S = varnothing$ et dans ce cas, il n’y a pas besoin d’accolades car $varnothing$ signifie ensemble vide

 

Résoudre l’équation $g(t) = 14$ revient à chercher les antécédents de 14 par la fonction $g$. Graphiquement, on trouve $S = {0; 6; 18; 24}$. 

 

Equations du type $f(t)=g(t)$

 

Il est aussi attendu de savoir résoudre graphiquement l’équation $f(t) = g(t)$ en d’autres termes, il s’agit de trouver pour quelles valeurs de $t$ les deux températures sont égales : 

les températures sont identiques aux points d’intersections des deux courbes. Ainsi $S = {9; 18 }$.  

Résolutions graphiques d'inéquations

Résolutions graphiques d’inéquations

 

Considérons deux fonctions f et g représentant la température au cours du temps dans deux villes différentes entre 0 et 24h.

 

 

 

Inéquations du type $f(t)geq k$

 

a) On cherche tout d’abord à résoudre l’inéquation $f(t) \geq 14$, c’est à dire on cherche les valeurs du temps où la température est supérieure ou égale à 14°C.

On cherche donc les abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $ y = 14$ ou la coupe.

Ainsi, $S = [12; 18]$ : la température est supérieure à 14°C entre midi et 18h.

 

b) Les solutions de l’inéquation $f(t) \leq 8$ sont $ S = varnothing$ car la température n’est jamais inférieure à 8°C. 

 

c) On cherche à résoudre l’inéquation $g(t) < 14$, c’est à dire les abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction $g$ est strictement en-dessous de la droite d’équation $ y = 14$ : on \ne retient donc pas les instants où la température vaut 14°C. Ainsi, $S = ]6; 18[$. 

 

Inéquations du type $f(t)geq g(t)$

 

Enfin l’inéquation $f(t) \geq g(t)$ revient à chercher les abscisses pour lesquelles la courbe représentative de la fonction $f$ est au dessus de celle de $g$, soit $ S = [9; 18]$.

Il faudra prêter une attention particulière à l‘orientation des crochets (intervalles ouverts ou fermés).