Cours Théorème du toit
Exercice d'application

Exercice : Plan et pyramide

$SABCD$ est une pyramide de sommet $S$ et dont la base $ABCD$ est un parallélogramme.

$M$ est un point de l’arête $[SC]$, $N$ est un point de l’arête $[SB]$, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

1) Montre que $(AD)$ et $(MN)$ sont parallèles.

2) Dans le plan $(ADM)$, les droites $(AN)$ et $(DM)$ se coupent en $P$.

3) Démontre que $P$ appartient à chacun des plans $(SAB)$ et $(SDC)$.

4) Pourquoi la droite d’intersection des plans $(SAB)$ et $(SDC)$ est-elle la droite $(SP)$ ?

5) En déduire que $(SP)$ est parallèle à $(AB)$ et à $(CD)$.

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1) $(AD)$ et $(MN)$ sont parallèles à la droite $(BC)$, donc elles sont parallèles.

 

2) Dans le plan $(ADM)$, les droites $(AN)$ et $(DM)$ se coupent en $P$.

 

3) La droite $(AN)$ appartient au plan $(SAB)$, donc $P$ aussi (car $P \in (AN)$). 

La droite $(DM)$ appartient au plan $(SDC)$, donc $P$ aussi (car $P \in (DM)$).

 

4) $S$ et $P$ appartiennent aux plans $(SAB)$ et $(SDC)$, donc la droite d’intersection des plans $(SAB)$ et $(SDC)$ est la droite $(SP)$.

5) $(AB)$ (droite du plan $(SAB)$) et $(CD)$ (droite du plan $(SDC)$) sont parallèles donc, d’après le théorème du toit, elles sont parallèles également à l’intersection de ces deux plans, c’est-à-dire la droite $(SP)$.