Cours Stage - Fonctions homographiques
Exercice d'application

Exercice : Fonction homographique et variations

Soit $f$ une fonction définie sur $] -\infty ; -1 [ \cup ] -1 ; +\infty [$ par $f(x) =\dfrac{2x – 2}{x+1}.$

1) Démontrer que $f(x)=2-\dfrac{4}{x+1}$.

2) Construire la courbe représentative de $f$ avec la fenêtre suivante :

$x$ varie de -10 à 8 et $y$ varie de -7 à 11 (le tracé doit être très précis et soigné – échelle libre).

3) a) Déterminer les variations de $f$ (on ne demande pas de les démontrer).

b) Dresser le tableau des variations de $f$.

4) a) Résoudre algébriquement $f(x) = 0$.

b) D’après les variations de la fonction $f$ et la question précédente, en déduire le signe de $f$ sur $] -\infty ; -1 [ \cup ] -1 ; +\infty [$.

c) Dresser le tableau de signes de $f$.

1) Cette fonction est croissante sur $] -\infty ; -1 [$, puis à nouveau croissante sur $] -1 ; +\infty [$.

Explication (non demandée) :

En effet, par exemple sur $] -\infty ; -1 [$, la fonction inverse $\dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $] -\infty ; 0 [$, donc la fonction $\dfrac{1}{x}+ 1$ va elle aussi être décroissante sur $] -\infty ; -1 [$.

variation_fonction_homographique

2)

Or on multiplie cette fonction par $-4$, qui est négatif, cela va changer les variations.

Ainsi $\dfrac{-4}{x} + 1$ va être croissante sur $] -\infty ; -1 [$. Puis on rajoute toujours $2$, ce qui ne va pas changer les variations.

Résoudre $f(x) = 0$ revient à chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles $\dfrac{2x-2}{x+1}=0$

Or dire qu’un quotient est nul est équivalant à dire que son numérateur est nul et que son dénominateur ne s'annule pas.

Il suffit donc de résoudre l'équation $2x – 2 = 0$. Ainsi la solution de $f(x) = 0$ est $x = 1$.

 

3) Les variations vont nous aider à dresser le tableau de signes de la fonction $f$.

signe_fonction_homographique

Là encore, le tracé graphique peut aider à confirmer les résultats.

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