Cours Stage - Fonction définie par une expression numérique
Exercice d'application

Exercice : Géométrie et fonction

Dans cet exercice, on considère le rectangle $ABCD$ ci-contre tel que son périmètre soit égal à 31 cm.

1) a) Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur ?

b) On appelle $x$ la longueur $AB$.
En utilisant le fait que le périmètre de $ABCD$ est de 31 cm, exprimer la longueur $BC$ en fonction de $x$.

c) En déduire l’aire du rectangle $ABCD$ en fonction de $x$.

 

2) On considère la fonction définie par $f(x) = x(15,5-x)$.

a) Quelle est l’image de 4 par la fonction ?

b) Déterminer le ou les antécédents de 0 par la fonction.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l’aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de $x$.

3) A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées

a) Quelle est l’aire pour $x = 3$ ?

b) Pour quelles valeurs de $x$ obtient-on une aire égale à 40 cm2 ?

c) Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de $x$ est-elle obtenue ?

d) BONUS

Le point $A(1 ; 14,5)$ appartient-il à la courbe représentative de la fonction ? Justifier par un calcul.

 

 

1) a) On a :

$P = 2 \times L + 2\times l$ et on précise que  $P=31$.

Soit :  $2\times 10 + 2l = 31$

Ainsi,  $2l = 31 - 21$  et finalement :  $I= \dfrac{11}{2}$$=5,5$


Si la longueur du rectangle est de $10$ cm alors sa largeur est de $5,5$ cm.


b) Soit $x$ la longueur $AB$ alors $2 x + 2\times BC = 31$ d’où $2\times BC = 31 – 2 x$

Finalement, $BC=\dfrac{31-2x}{2} $


c) L’aire du rectangle $ABCD$ vaut :  $A_{ABCD} = AB\times BC$

soit $A_{ABCD} = x\times\dfrac{31-2x}{2}= x (15,5–x)$

 

2) $f(x) = x(15,5-x)$

a) $f(4) = 4(15,5-4) = 4\times11,5 = 46$

L'image de $4$ par $f $ est donc $46$.

 

b) Pour déterminer les antécédents de $0$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ soit $x(15,5-x) = 0$.

Or un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Donc $x=0$ ou $15,5-x=0$ soit $x=15,5$.

L'équation admet $0$ et $15,5$ comme solutions.

Donc les antécédents de $0$ par $f$ sont $0$ et $15,5$.

 

3) a) Si $x=3$cm alors l'aire est d'environ $38$ cm$^2$ .

b) L'aire est égale à $40$cm$^2$  pour $x \approx 3,3$ cm et $x\approx 12,2$ cm

c) L'aire maximale est d'environ $60$cm$^2$ . Elle est atteinte pour $x\approx 7,8$ cm.

d) BONUS : $f(1) = 1(15,5-1) = 14,5$ donc $A(1;14,5)$ appartient à la courbe représentative de $f$.