Cours Variations de fonctions
Exercice d'application

Exercice : Les fonctions

1) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier la réponse)

a) Si $f$ est une fonction définie et strictement croissante sur $[-2 ; 5]$ alors $f(-2) < f(5)$.

b) Si $f$ est une fonction définie sur $[1 ; 4]$ telle que $f(1) > f(4)$ alors $f$ est strictement décroissante sur $[1 ; 4]$.

c) Si $f$ change le sens de toutes inégalités sur $\mathbb{R}$, et $f(-1) = 4$ alors pour tout réel $x\in [-1 ; +\infty [$ on a : $f(x)\leq 4$.

 

2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$. 

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a) Déterminer graphiquement les images de $0$ et $-2$.

b) Déterminer graphiquement le(s) éventuels antécédent(s) de $2; -2$ et $-5$.

c) Sur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle croissante ?

d) Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$ (faire un tableau de signe).

1) a) C’est la définition de fonction strictement décroissante qui permet d’affirmer que $f(-2) < f(5)$, donc cette affirmation est vraie.

 

b) Pas forcément, on peut très bien avoir une fonction telle que $f(1) > f(4)$ et non strictement décroissante,

L’inégalité $f(a) > f(b)$ avec $a < b$ n’est pas vérifiée pour tout couple de réels mais pour $1$ et $4$ donc cette affirmation est fausse.

 

c) Cette affirmation est vraie. 

Si $x\in [-1 ; +\infty [$ on a $x\geq -1$ (avec $x$ et $–1$ appartenant à $[-1 ; +\infty [$) donc

$f(x)\geq f(-1)$ (puisque $f$ change le sens de toutes inégalités sur $[-1 ; +\infty [$), on a donc $f(x)\geq 4$.

 

2) a) Le point de coordonnées $(0 ; 0$) appartient à $C_f$ donc $f(0) = 0$. 

Le point de coordonnées $(-2 ; -1)$ appartient à $C_f$ donc $f(-2) = -1$.

 

b) La droite d’équation $y = 2$ ne coupe pas $C_f$ donc $2$ n’a pas d’antécédents.

La droite d’équation $y = -2$ coupe $C_f$ en deux points d’abscisses $0,65$ et $3$ (environ),

$-2$ a deux antécédents : $0,65$ et $3$. 

La droite d’équation $y = -5$ coupe $C_f$ au point d’abscisse $2$. 

$–5$ a  donc un antécédent : le nombre $2$.

 

c) $f$ est croissante sur $[-2;-1]$ et $[2 ;3]$.

 

d) Tableau de signe de $f(x)$

x -2                   -1.7                      0                         3
f(x)        -                0          +           0                -