Sommes et produits d’inégalités

Inégalités - Opérations

Inégalités – Opérations 

 

Rappels :

1) Fonction croissante :
Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ tels que $a < b$, alors $f(a) < f(b)$. 

fonction_croissante

Exemple :
Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = \lambda x$ avec $lambda > 0$ et $x \in mathbb{R}$. 
Alors $f$ est croissante. 

 

2) Fonction décroissante :

Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ si pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$ tels que $a < b$, alors $f(a) > f(b)$. 

fonction_decroissante

Exemple :

Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = \lambda x$ avec $lambda < 0$ et $x \in mathbb{R}$. 

Alors $f$ est décroissante. 

 

Sommes avec des inégalités

Soient $a, b, c$ et $d$ des réels,
Si $a < b$ et $c < d$ alors  $a + c < b + d$ en additionnant terme à terme

Il faut cependant faire prêter une attention particulière à certains points.

En effet, si $a < b$ et $c \leq d$, la propriété de somme est toujours vraie mais il faut garder le signe d’inégalité stricte.

Ainsi, $a + c < b + d$. 

De plus, si les inégalités \ne sont pas écrites dans le même sens il faut les réécrire pour que les signes d’inégalité soient les mêmes.

Ainsi, si $a \leq b$ et $c \geq d$, on écrira $d \leq c$ et on appliquera la propriété pour additionner les deux inégalités : $a + d \leq b + c$.

 

Produit par un réel $lambda$

 

Soient deux réels $a$ et $b$,

a) On suppose tout d’abord que $lambda >0$,

Si $a > b$, en multipliant à gauche et à droite par $lambda$ on trouve $lambda a > \lambda b$.

Le sens de l’inégalité n’a pas changé. 

Cela revient à appliquer la fonction $f(x) = \lambda x$ qui est croissante car $lambda >0$.

Exemple :

On a $4 > 1$, en multipliant par $3$ on obtient $12 > 3$ ce qui est vraie.

 

b) On suppose ensuite que $lambda < 0$,

Si $a > b$, en multipliant à gauche et à droite par $lambda$ on trouve $lambda a < \lambda b$.

Le sens de l’inégalité est inversé. 

Cela revient à appliquer la fonction $f(x) = \lambda x$ qui est décroissante car $lambda < 0$.

Exemple :

On a $4 > 1$, en multipliant par $-2$ on obtient $-8 < -2$ : on a changé le sens de l’inégalité.