Statistiques, moyennes, fréquences

Statistiques - vocabulaire

Statistiques – vocabulaire

 

On s’intéresse à une classe de 30 élèves, c’est la population

Chaque élève est un individu

On interroge chacun des élèves sur leur note obtenue lors du dernier examen et on synthétise le résultat de cette enquête dans la tableau suivant.

 

 Notes $x_i$    2       3       4       6       8       9      10   Total 
 Effectifs 1 2 2 7 10 6 2 30
 Effectifs Cumulés Croissants   1 3 5 12 22 28 30  
 Fréquences en % 3 7 7 23 33 20 7 100
 Fréquences Cumulées Croissantes  3 10 17 40 73 93 100  

 

La deuxième ligne du tableau correspond aux effectifs. Cela signifie par exemple que 1 élève a eu 2, 2 élèves ont eu 3… En faisant la somme des effectifs, on obtient l’effectif total qui vaut 30. 

La troisième ligne contient l’effectif cumulé croissant qui s’obtient en additionnant l’effectif de la colonne considérée avec l’effectif cumulé croissant de la colonne précédente. Pour la première colonne, on écrit simplement la valeur de l’effectif. 

La quatrième ligne indique les fréquences, exprimées ici en pourcentage, et se calculent en faisant le produit du rapport de l’effectifs correspondant par l’effectif total par 100 pour obtenir un résultat en pourcentage.

La dernière ligne contient les fréquences cumulées croissantes se calculant de la même manière que l’effectif cumulé croissant. 

Parmi les notes obtenues, on remarque que la note 8 est celle ayant le plus grand effectif : c’est le mode de la série, c’est la valeur la plus représentée de la série. 

L’étendue correspond à la différence de la plus grande valeurs et de la plus petite entre lesquelles l’effectif varie. Ici, l’étendue vaut $10 – 2$ c’est à dire 8.

 

 

Le tableau précédent peut être également représenté sous la forme suivante, appelée tableau par classe

 Notes $x_i$  $[2; 4[$   $[4; 6[$   $[6; 8[$ 

 $[8; 10]$ 

  Total  
 Effectifs 3 2 7 18 30
 Effectifs Cumulés Croissants   3 5 12 30  
 Fréquences 0.1 0.07 0.23 0.6 1
 Fréquences Cumulées Croissantes  0.1 0.17 0.4 1  

 

Par exemple, cela signifie que trois personnes ont eu une note comprise entre 2 inclus et 4 exclus. On veillera aussi à écrire un intervalle fermé pour la dernière colonne. 

Le reste du tableau se remplit de la même manière que précédemment. Les fréquences \ne sont plus exprimées en pourcentage. 

La classe modale correspond à la classe contenant le plus grand effectif, ici c’est la classe $[8; 10]$.

On \ne parle cependant pas d’étendue car on \ne sait pas la plus petite note obtenue, on sait seulement qu’elle appartient à l’intervalle $[2; 4[$.

Moyenne pondérée

Moyenne pondérée

 

On considère deux séries statistiques différentes et on cherche à déterminer la moyenne pondérée de ces deux séries.

 

Série 1

 Valeurs $x_i$ 2 3 4 5 Total
 Effectifs  11 7 8 4 30
 Fréquences en % 37 23 27 13 100

Il existe deux méthodes pour calculer la moyenne pour ce type de série. Cela dépendra des attentes de l’énoncé, selon qu’il s’agisse d’effectuer les calculs à partir des effectifs ou des fréquences.

Avec les effectifs :

La moyenne est calculée avec la formule suivante :

$ \overline{x} = dfrac{2times 11 + 3 \times 7 + 4 \times 8 + 5 \times 4}{30}$,

Le numérateur correspond à la somme des produits des valeurs par les effectifs, et le dénominateur est égal à l’effectif total. 

On trouve alors $overline{x} \approx 3,17$.

L’interprétation et l’arrondi dépendront de l’exercice. Si il s’agissait par exemple du nombre de livres lus dans une école, on préférera arrondir à l’unité. 

 

Avec les fréquences : 

La moyenne est calculée ici avec la formule suivante :

$ \overline{x} = dfrac{2times 37 + 3 \times 23 + 4 \times 27 + 5 \times 13}{100}$,

Le numérateur correspond à la somme des produits des valeurs par les fréquences, et le dénominateur est égal à la fréquence total. 

On trouve alors $overline{x} \approx 3,16$.

 

Série 2

On s’intéresse maintenant à une série statistique regroupée par classe.

 Valeurs  $[0; 2[$ $[2; 4[$ $[4; 6[$ Total
 Effectifs  10 13 7 30
 Centre de la classe 1 3 5  

Cela peut par exemple représenter le nombre de livres lu dans une école.

Ainsi, 10 élèves ont lu entre 0 et 2 livres. Cela signifie qu’en moyenne, 10 élèves ont lu 1 livre.

Le centre de la classe correspond au milieu des intervalles de valeurs. 

On effectue donc le calcul suivant pour trouver la moyenne de cette série statistique :

$ \overline{x} = dfrac{1times 10 + 3 \times 13 + 5 \times 7}{30}$,

le numérateur correspond à la somme des produits des valeurs par les centres des classes, et le dénominateur est égal à l’effectif total. 

On trouve alors $overline{x} \approx 2,8$.

Polygone des fréquences cumulées croissantes

Polygone des fréquences cumulées croissantes

 

On considère le tableau des fréquences cumulées croissantes suivant et il s’agit de construire le polygone des fréquences cumulées croissantes. 

  Salaires (centaines d’euros)  $[8; 12[$   $[12; 16[$   $[16; 20[$   $[20; 24]$ 
  Fréquences Cumulées Croissantes 10 60 70 100

 

Ce tableau signifie par exemple que 10% des employés ont un salaire compris entre 800 et 1200€. 

Pour construire le polygone, on représente tout d’abord le graphique dont les axes sont les  fréquences cumulées en fonction des salaires. On pourra commencer la graduation de l’axe des abscisses à partir de 800€.

Ensuite, on indique pour chaque classe la fréquence cumulée croissante. Par exemple, pour la première classe, on mettra une croix pour une abscisse de 1200 et une ordonnée de 10. Pour la seconde, on mettra une croix  pour une abscisse de 1600 et une ordonnée de 60.

Une fois tous les points placés sur le graphique, on relit tous les points entre eux en rajoutant un point dont l’abscisse correspond à la plus petite valeur de salaire et ayant comme abscisse 0. 

Ce graphique s’interprète par exemple sous la forme : 60% des salariés gagne moins de 1600€ par mois. 

Graphiquement, il est également possible de lire la médiane de la série statistique. On se place sur l’axe des ordonnées à 50% et on trace une droite verticale. On trace ensuite une droite horizontale passant par le point d’intersection entre la droite verticale et le polygone. Graphiquement, on trouve que la médiane vaut environ 1500€. 

On peut également lire graphiquement une valeur approchée des quartiles en suivant la même méthode mais en se plaçant initialement à 25% puis 75% respectivement sur l’axe des ordonnées. Ici, $Q_1 \approx 1250$€ et $Q_3 \approx 2100$ €.

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Quartiles

Quartiles

 

Lors du calcul de la médiane, il fallait découper la série statistique en deux sous séries de même longueur. 
Pour le calcul des quartiles, il faut découper la série statistique en quart. 

 

Définition :

 

Le premier quartile noté $Q_1$ correspond à la plus petite valeur telle que au moins un quart des termes de la série statistique ont une valeur inférieure ou égale à $Q_1$. 

Le troisième quartile noté $Q_3$ correspond à la plus petite valeur telle que au moins trois quarts des termes de la série statistique ont une valeur inférieure ou égale à $Q_3$. 

 

Exemple :

On considère la série statistique suivante représentant le poids de sept personnes. Déterminons les quartiles de cette série.

$ 65 ; 54 ; 84 ; 66 ; 84 ; 59 ; 70$

Pour obtenir les deux quartiles à partir de cette série statistique, il faut d’abord la classer par ordre croissant. 

$ 54 ;  59 ; 65 ; 66 ; 70 ; 84 ;  84$

 

Pour déterminer le premier quartile, on commence par calculer le quart de l’effectif.

Ici, l’effectif est égal à 7 : $dfrac{1}{4} \times 7 = 1,75$. 

Cela signifierait alors que le premier quartile serait le terme de rang 1,75 qui n’existe pas.

Dans ce cas là, le premier quartile est le terme dont le rang est le premier entier supérieur au résultat du calcul précédent. 

Ici, le premier quartile est donc le terme de rang 2, c’est à dire

$Q_1 = 59$ kg. 

 

Pour déterminer le troisième quartile, on commence par calculer les trois quarts de l’effectif.

Ici,  $dfrac{3}{4} \times 7 = 5,25$. 

Comme précédemment, le troisième quartile est le terme dont le rang est le premier entier supérieur au résultat du calcul précédent. 

Ici, le troisième quartile est donc le terme de rang 6, c’est à dire

$Q_3 = 84$ kg.