Les suites arithmétiques

Définition

 

Soit $r$ un réel et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.

On dit que $(u_n)$ est une suite arithmétique si, et seulement si :

Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=u_n+r$

$ u_0 \underset{+r}{\longrightarrow} u_1 \underset{+r}{\longrightarrow} u_2 \underset{+r}{\longrightarrow} \cdots \underset{+r}{\longrightarrow} u_{n-1}\underset{+r}{\longrightarrow} u_n \underset{+r}{\longrightarrow} u_{n+1}$

On dit alors que $r$ est la $\textbf{raison}$ de la suite arithmétique $(u_n)$ et on note $u_0$ son premier terme.

 

Expression de $u_n$ en fonction de $n$

 

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$u_n=u_0+nr$.

 

On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :

$u_n=u_p+(n-p)r$, pour tout entier $p$ vérifiant $p\leqslant n$.

 

Somme de termes consécutifs

 

On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique $(u_n)$.

La somme se calcule de la manière suivante :

$\text{Somme}=\text{(nombre de termes)}\times \dfrac{\text{1er terme + dernier terme}}{2}$.

Les suites arithmétiques - Exercice

Exercice

 

Un lycéen économise 100€ par mois. Mais il augmente son dépôt de 15€ par mois.

 

1) Il dépose 100€ en janvier, combien dépose-t-il en décembre ?

  • Étape 1 : On reconnait une suite arithmétique de premier terme \(U_1\) = 100 et de raison \(r = 15\).
  • Étape 2 : On utilise \(U_n = U_p + (n-p) \times r\) avec \(p = 1\) et \(n = 12\).
  • Étape 3 : On conclut l’exercice.

 

2) Quelle somme d’argent aura-t-il mise de côté en un an ?

  • Étape 1 : On applique la formule :

\(S = \large\frac{(\text{nb de termes})(\text{1er terme + dernier terme})}{2}\)

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