Les suites géométriques

Définition

 

Soit $q$ un réel et $(u_n)_{ninmathbb{N}}$ une suite à valeurs réelles.

On dit que $(u_n)$ est une suite géométrique si, et seulement si :

Pour tout $ninmathbb{N}$ : $u_{n+1}=qtimes u_n$

 

$ u_0 underset{times q}{longrightarrow} u_1 underset{times q}{longrightarrow} u_2 underset{times q}{longrightarrow} cdots underset{times q}{longrightarrow} u_{n-1}underset{times q}{longrightarrow} u_n underset{times q}{longrightarrow} u_{n+1}$

On dit alors que $q$ est la raison de la suite géométrique $(u_n)$ et $u_0$ son premier terme.

 

Expression de $u_n$ en fonction de $n$

 

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Si $u_0$ est le premier terme de la suite $(u_n)$, on peut démontrer facilement par récurrence que pour tout $ninmathbb{N}$,

$u_n=u_0times q^n$.

On peut encore écrire cette égalité de la manière suivante :

$u_n=u_ptimes q^{n-p}$ avec $pleqslant n$.

 

Somme de termes consécutifs

 

On souhaite calculer la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique $(u_n)$.

 

La somme se calcule de la manière suivante :

$text{Somme}=text{(1er terme)} times dfrac{1-q^{text{nombre de termes}}}{1-q}$

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

 

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $dfrac{u_1}{u_0}$ et $dfrac{u_2}{u_1}$. 

 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 times 3^n$. On a alors $dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q times u_n$ pour tout $n in mathbb{N}$.

 

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 times ( 4 times 3^n ) $

$3 u_n= 4 times 3^{n + 1} $

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 times 3^0 = 4 times 1 = 4$.