Suites géométriques - Définition

Suites géométriques

 

1) Définition 

 

Une suite géométrique est une suite pour laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en étant multiplié par une constante $q$, la raison. 

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Une suite géométrique est ainsi définie par

$left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times q \ u_0 \ \end{array} right.$ où $q$ est la raison ($q \in mathbb{R}$) et $u_0$ est le premier terme de la suite. 

 

Considérons une suite géométrique de raison $2$ de premier terme 5 qui s’écrit alors :

$left \{ \begin{array}{l} u_{n + 1} = u_n \times 2 \ u_0=5 \ \end{array} right.$

 

Les premiers termes de la suite sont donc :

$u_1 = u_0 \times 2 = 5 \times 2 = 10$   et   

$u_2 = u_1 \times 2 = 10 \times 2 = 20$. 

 

Propriété : expression de $u_n$ en fonction de $n$.

 

Néanmoins la définition d’une suite géométrique nécessite pour calculer un terme de la suite d’avoir au préalable calculé tous les termes précédents. 

Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on remarque qu’il a fallu multiplier $u_0$ $n$ fois par $q$ :

Ainsi : $u_n = u_0 \times q^n$ pour tout $n \in mathbb{N}$.

 

La formule plus générale permet de calculer tous les termes si l’on \ne connait pas le premier terme mais le $p^{text{ème}}$ :

Pour tous $n, \p \in mathbb{N}, u_n = u_p \times q^{(n – p)}$.

 

En reprenant l’exemple précédent, on trouve $u_4 = u_0 \times q^4 = 5 \times 2^4 = 80$

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

 

Afin de montrer qu’une suite $(u_n)$ est géométrique, on commence par calculer les premiers termes en s’assurant qu’ils \ne sont pas nuls puis on calcule les rapports des premiers termes : $dfrac{u_1}{u_0}$ et $dfrac{u_2}{u_1}$. 

 

Considérons par exemple la suite $u_n = 4 \times 3^n$. On a alors $dfrac{u_1}{u_0} = 3$ et $dfrac{u_2}{u_1} = 3$.

Si il apparait que le rapport des premiers termes est une constante $q$: on émet alors une conjecture en supposant que la constante ainsi trouvée est la raison de la suite

Il faut alors montrer en revenant à la définition d’une suite géométrique que $u_{n + 1} = q \times u_n$ pour tout $n \in mathbb{N}$.

 

En revenant à notre exemple, on souhaite montrer que $u_{n + 1} = 3 u_n$.

Or :

$3 u_n = 3 \times ( 4 \times 3^n ) $

$3 u_n= 4 \times 3^{n + 1} $

$3 u_n= u_{n + 1}$.

Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 4 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4$.