Système d’équations paramétriques de droites

Équation paramétrique d'une droite

Système d’équations paramétriques d’une droite

 

Définition

 

Soit une droite $D$ définie par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et un vecteur directeur $overrightarrow{u}(alpha;beta;gamma)$ non nul.

Un point $M(x;y;z)$ appartient à $D$ si et seulement si les vecteurs $overrightarrow{AM}$ et $overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

C’est-à-dire s’il existe un réel $k$ tel que $overrightarrow{AM}=koverrightarrow{u}$.

On traduit cette égalité par un système d’équations paramétriques de la droite $D$:

(Dleft{ begin{array}{ll}x-x_A=kalpha \y-y_A=kbeta  \z-z_A=kgammaend{array} right. )      avec $k \in mathbb{R}$

 

 

Exemple

Soit $Delta$ la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $overrightarrow{u}$, avec $overrightarrow{u} (-2;-1;3)$ et $A(3;4;-5)$.

Donner un système d’équations paramétriques de $Delta$

 

Correction

On définit un système d’équations paramétriques de $Delta$ à partir des coordonnées du vecteur $overrightarrow{u}$ et du point $A$.

(Deltaleft{ begin{array}{ll}x-3=k(-2)  \y-4=-k  \z+5=3kend{array} right. )      avec $k \in mathbb{R}$

$iff$ (Deltaleft{ begin{array}{ll}x=3-2k  \y=-k+4  \z=3k-5end{array} right. )     avec $k \in mathbb{R}$

 

Équation paramétrique de droites - Exercice 1

Soit (Delta (overrightarrow{u}; A)) avec (overrightarrow{u} (-2, 1, 3)) et (A(3, 4, -5)).

Donner l’équation paramétrique de (delta).

  • Étape 1 : On définit l’équation paramétrique de (Delta) à partir des coordonnées du vecteur (overrightarrow{u}) et du point (A).
  • Étape 2 : On réécrit l’équation paramétrique afin de correspondre au format habituel.

Équation paramétrique de droites - Exercice 2

Soit (Delta left{ \begin{array}{ll} x = 3t + 1 \ y = 2 – 2t \ z =4 \end{array} right. )

Déterminons un vecteur directeur de (Delta) et un point (C) de (Delta).

  • Étape 1 : On réécrit le système afin de le faire correspondre au format du cours.
  • Étape 2 : À partir de cette expression, on en déduit les coordonnées d’un vecteur directeur de (Delta) et d’un point (C) de (Delta).