Cours Annales - Suites et algorithme (facile)
Exercice d'application

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d’une hauteur de 10 m. On mesure le niveau de l’eau chaque jour à midi.

Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,05 m. Entre deux mesures successives, le niveau d’eau du lac évolue de la façon suivante :

   • d’abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière);

   • ensuite une baisse de 15 cm (écoulement à travers le barrage).

1. On modélise l’évolution du niveau d’eau du lac par une suite ($u_n$), $n \in \mathbb{N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d’eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le 1er janvier 2018.

Ainsi le niveau d’eau du lac, en cm, le 1er janvier 2018 est donné par $u_0 = 605$.

   a. Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.

   b. Montrer que, pour tout n ∈ N, $u_{n+1} = 1,06u_n −15$.

2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_n = u_n −250$.

   a. Montrer que la suite ($v_n$) est géométrique de raison $1,06$. Préciser son terme initial.

   b. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 355\times 1,06^n +250$.

3. Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l’équipe d’entretien doit agrandir l’ouverture des vannes du barrage.

   a. Déterminer la limite de la suite ($u_n$).

   b. L’équipe d’entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d’eau ? Justifier la réponse.

4. Afin de déterminer la première date d’intervention des techniciens, on souhaite utiliser l’algorithme incomplet ci-dessous.

37303d87722cca7262a0a056c80a83d654c14c90.png

   a. Recopier et compléter l’algorithme.

   b. À la fin de l’exécution de l’algorithme, que contient la variable $N$ ?

   c. En déduire la première date d’intervention des techniciens sur les vannes du barrage.