Cours Annale - Géométrie dans l'espace
Exercice d'application

Exercice : Plan d’équation cartésienne - Annale Bac

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).$

Soit $P$ le plan d’équation cartésienne : $2x − z − 3 = 0.$

On note $A$ le point de coordonnées $(1 ; a ; a^2),$ où $a$ est un nombre réel.

 
1) Justifier que, quelle que soit la valeur du réel $a,$ le point $A$ n’appartient pas au plan $P.$

 

2) a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ (de paramètre noté $t$) passant par le point $A$ et orthogonale au plan $P.$

b) Soit $M$ un point appartenant à la droite $D,$ associé à la valeur $t$ du paramètre dans la représentation paramétrique précédente.

Exprimer la distance $AM$ en fonction du réel $t.$

 

On note $H$ le point d’intersection du plan $P$ et de la droite $D$ orthogonale à $P$ et passant par le point $A.$ Le point $H$ est appelé le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $P,$ et la distance $AH$ est appelée distance du point $A$ au plan $P.$

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3) Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la distance $AH$ du point $A$ de coordonnées $(1 ; a ; a^2)$ au plan $P$ est minimale ? Justifier la réponse.