Cours Stage - k-uplets, factorielle n, permutations

Exercice - Répartition sur un banc

L'énoncé

2 filles et 5 garçons s'assoient sur un banc ayant 7 places numérotées de 1 à 7.

Cet exercice s'intéresse aux différentes possibilités d'asseoir les 7 personnes. L'ordre compte.


Question 1

Combien y a-t-il de possibilités d'asseoir les 7 personnes ?

Ici, on est dans une situation équivalente à "piocher sans remise, avec ordre".

Pour la première place on peut donc choisir 1 personne sur 7, pour la deuxième 1 personne sur 6, pour la troisième 1 personne sur 5...

Il y a donc $7!=5040$ dispositions possibles.

A chaque place, déterminer le nombre de choix possibles.

Question 2

Maintenant, on suppose que tous garçons sont sur les places 1 à 5 et toutes les filles sur les places 6 et 7.

Combien y a-t-il de possibilités ?

Si on assoie tous les garçons sur les places 1 à 5, pour la première place à gauche il y a 5 choix possibles, puis 4 pour la deuxième, 3 pour la troisième... et 1 unique choix (le dernier garçon) pour la cinquième place.

Ensuite 2 choix (parmi les 2 filles) pour la sixième et il reste une seule fille pour la dernière place.

Il y a donc $5\times 4\times 3\times 2\times 1\times 2\times 1=240$ possibilités.

Faire un schéma !

Question 3

Supposons maintenant que les filles veulent être côte-à-côte. Combien y-a-t-il de possibilités ?

Il y a 5 cas distincts, avec chacun le même nombre de possibilités :
Soit les filles occupent la 1re et 2e place, soit la 2e et 3e, soit la 3e et 4e, soit la 4e et 5e, soit la 5e et 6e, soit la 6e et 7e.

Il y a donc 6 cas distincts que l’on pourra additionner par principe additif.

Maintenant, chacun des cas contient autant de possibilité, comptons seulement pour le 1er cas où on place les 2 filles en premier :
On aura donc $2\times 1\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=240$ possibilités pour chaque cas.

Il y a donc $6\times 240=1440$ possibilités pour asseoir les 7 personnes.

Distinguer les différents cas en fonction des positions des filles.

Question 4

Supposons qu’une fille remplace un garçon : il y a 3 filles et 4 garçons. Combien y-a-t-il de possibilités que chaque fille soit encadrée par deux garçons ?

C’est fois-ci il n’y a qu’un cas de figure : nommons F les filles et G les garçons.

La seule disposition fonctionnant est la suivante : G F G F G F G.

De la même manière que pour les autres questions, le nombre de possibilités est le suivant :

$4\times 3\times 3\times 2 \times 2 \times 1\times 1=144$ possibilités.

Il n’y a qu’un seul cas de figure de répartition fille-garçon.

Question 5

On reste dans le cas à 3 filles et 4 garçons. Combien y a-t-il de possibilités de les placer pour qu’il y ait au moins une fille à une extrémité ?

L’évènement contraire de « au moins une fille à une extrémité » est « aucune fille aux extrémités ».

Calculons le nombre de possibilités de cet évènement :

En première place il faut nécessairement 1 garçon : il y a 5 choix.

En dernière place il faut nécessairement 1 garçon : il reste 4 choix.

Les 5 autres places sont indifférentes : il y a 5x4x3x2x1 choix.

Ainsi, pour cet évènement, il y a $5\times 5\times 4\times 3 \times 2 \times 1\times 4=2400$ possibilités.

Au final, le nombre de possibilités avec au moins une fille à une extrémité correspond au nombre de possibilités totales ($7 !=5040$) moins les cas où il n’y a pas de filles sur les bords :

Il y a donc $5040-2400=2640$ possibilités.

Passez par l’évènement contraire.