L'énoncé
On considère la fonction $p$ définie sur l'ensemble des réels par :
$p(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + 1$ avec $a$ et $b$ réels
Question 1
Calculer les coefficients $a$ et $b$ pour que la courbe passe par le point $A(1;1)$ et ait un point d'inflexion en $A$.
On a deux inconnues donc il faut trouver deux équations.
On sait que la courbe passe par $(1;1)$ donc $p(1) =1$
D'autre part, on a un point d’inflexion en $ (1;1)$ donc $p''(1) = 0$
$p(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + 1$
$p'(x) = 3ax^2 - 6x + b$
$p''(x) = 6ax -6$
Les deux équations sont :
$f(1) = 1$ donc $a-3 + b+1 = 1$ soit $a+b = 3$
$f'' (1) = 0$ donc $6a - 6 =0$ soit $a=1$
Finalement $b=2$
Conclusion :
$a = 1$ et $b=2$ et $p(x)=x^3-3x^2+2x+1$
Question 2
La fonction est-elle croissante ou décroissante en $x=1$ ?
On analyse le signe de $p'(x)$ en $(1,1)$
$p'(1) = 3-6+2 = -1<0$
Donc la fonction est décroissante en $x=1$ .
Question 3
Représenter graphiquement la fonction à l'aide de la calculatrice
