Cours Stage - Points d'inflexion

Exercice - Points d'inflexion

L'énoncé

On considère la fonction $p$ définie sur l'ensemble des réels par :

$p(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + 1$ avec $a$ et $b$ réels


Question 1

Calculer les coefficients $a$ et $b$ pour que la courbe passe par le point $A(1;1)$ et ait un point d'inflexion en $A$.

On a deux inconnues donc il faut trouver deux équations.

On sait que la courbe passe par $(1;1)$  donc  $p(1) =1$

D'autre part, on a un point d’inflexion en $ (1;1)$ donc  $p''(1) = 0$

 

$p(x) = ax^3 - 3x^2 + bx + 1$

$p'(x) = 3ax^2 - 6x + b$

$p''(x) = 6ax -6$

 

Les deux équations sont :

$f(1) = 1$ donc $a-3 + b+1 = 1$ soit    $a+b = 3$

$f'' (1) = 0$ donc $6a - 6 =0$ soit    $a=1$

Finalement $b=2$

 

Conclusion :

$a = 1$ et $b=2$ et $p(x)=x^3-3x^2+2x+1$

Question 2

La fonction est-elle croissante ou décroissante en $x=1$ ?

On analyse le signe de $p'(x)$ en $(1,1)$

$p'(1) = 3-6+2 = -1<0$

Donc la fonction est décroissante en $x=1$ .

Question 3

Représenter graphiquement la fonction à l'aide de la calculatrice

x^3-3x^2+2x+1