Cours Stage - Points d'inflexion
QCM
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L'énoncé

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Question 1

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $]a;b[$ et $x_0$ un réel de cet intervalle. $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$ lorsque :

$f'$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

$f''$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

C'est une propriété du cours.

$f$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

Question 2

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $]a;b[$. $f$ admet un point d'inflexion en lorsque :

La tangente en ce point est horizontale.

La tangente en ce point est verticale.

La tangente en ce point traverse la courbe.

C'est une définition.

Question 3

La fonction $f(x)=e^x$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.

Non

Sa dérivée seconde ne s'annule pas.

En effet, $f''(x)= e^x>0$.

Oui

Non, elle admet plusieurs points d'inflexion.

Question 4

La fonction $f(x)=x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.

Oui

Pour tout réel, $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$

La dérivée seconde s'annule et change de signe en $0$ donc la fonction admet un point d'inflexion.

Non

Non, elle admet deux points d'inflexion.

Question 5

La fonction $f(x)=x^4$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.

Oui

Non, elle admet trois points d'inflexion.

Non

Pour tout réel, $f'(x)=4x^3$ et $f''(x)=12x^2$

La dérivée seconde s'annule en $0$ mais ne change pas de signe donc la fonction n'admet aucun point d'inflexion.

Question 6

La fonction $f(x)=x^2+1$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.

Non

Pour tout réel, $f'(x)=2x$ et $f''(x)=0$

La dérivée seconde est toujours nulle donc ne change pas de signe et la fonction n'admet aucun point d'inflexion.

Oui

Non, elle en admet deux.

Question 7

La fonction $f(x)=\ln x$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ admet un point d'inflexion.

Non, elle admet plusieurs points d'inflexion.

Oui

Non

Pour tout réel strictement positif, $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

La dérivée seconde est toujours négative et ne s'annule pas. La fonction n'admet aucun point d'inflexion.

Question 8

La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R^{+*}}$ admet un point d'inflexion.

Oui

Non

Pour tout réel strictement positif, $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ et $f''(x)=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}$

La dérivée seconde est toujours positive et ne s'annule pas car $x>0$. La fonction n'admet aucun point d'inflexion.

Non, elle admet deux points d'inflexion.

Question 9

La fonction $f(x)=x^5+x^3$ définie sur $\mathbb{R}$ admet un point d'inflexion.

Non

Non, elle admet deux points d'inflexion.

Oui

Pour tout réel, $f'(x)=5x^4+3x^2$ et $f''(x)=20x^3+6x=x(20x^2+6)$

La dérivée seconde s'annule en $0$ et change de signe donc la fonction admet un point d'inflexion en $0$.

Question 10

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $]a;b[$ et $x_0$ un réel de cet intervalle. $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$ lorsque :

$f'$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

$f$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

$f''$ s'annule en $x_0$ et change de signe.

C'est une propriété.