Cours Stage - Fonction exponentielle, équations, variations

Équations, inéquations et fonctions exponentielles

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Fiche de cours

 

Equations et inéquations

 

Propriétés

Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x=e^y \iff x=y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x=a \iff x=\ln a$.

Pour tous réels $x$ et $y$, $\displaystyle e^x \leqslant e^y \iff x \leqslant y$.

Pour tout réel $x$ et pour tout réel $a$ strictement positif, $\displaystyle e^x \leqslant a \iff
x \leqslant \ln a$.


Exemple

Résoudre :  $3e^x-1=0$.

étape 1 : Soit $a$ un réel strictement positif. Si $e^x=a$, alors $x=\ln a$.

$\displaystyle 3e^x = 1$

$\displaystyle e^x = \frac{1}{3}$

$\displaystyle e^x = e^{\ln \frac{1}{3}} \iff x= \ln \frac{1}{3}$

étape 2 : On utilise $\ln (\frac{a}{b})=\ln a-\ln b$.

$\displaystyle x= \ln \frac{1}{3}$

$\displaystyle x= \ln 1- \ln 3$

$\displaystyle x= - \ln 3$

étape 3 : On conclut en donnant l'ensemble des solutions $S=\{-\ln 3\}.$

 


Autre exemple 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ :  $\displaystyle 2e^{2x}-4e^x \leqslant 0$.

étape 1 : On factorise par $2e^x$ en utilisant $\displaystyle e^{2x }=(e^x)^2$.

$\displaystyle 2e^x (e^

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