L'énoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}$
Question 1
Étudier les variations de la fonction $f$.
$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la forme $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^{2x}−4$ et $ v(x)=e^{2x}+4$
On en déduit que $u'(x)=2e^{2x}$ et $ v'(x)=2e^{2x}$
Ainsi : $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
et $f'(x)= \dfrac{(2e^{2x})\times (e^{2x}+4)-(e^{2x}−4)\times (2e^{2x})}{(e^{2x}+4)^2}$
$f'(x) = \dfrac{16e^{2x}}{(e^{2x}+4)^2}>0$
Il faut dériver la fonction bien sûr.
Question 2
Dresser son tableau de variations. Soit $C_f$ la courbe représentative de $f$.
$f$ est donc strictement croissante sur son ensemble de définition.
Cherchons les limites aux bornes de son ensemble de définition.
On sait que $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}e^{2x}=0$ donc
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{-4}{4}=-1$
De plus, On sait que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{2x}=+\infty$ donc on a une forme indéterminée.
Factorisons par le terme prépondérant :
$\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{e^{2x}(1-\frac{4}{e^{2x}})}{e^{2x}(1+\frac{4}{e^{2x}})}=\dfrac{(1-\frac{4}{e^{2x}})}{(1+\frac{4}{e^{2x}})}$
Or $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4}{e^{2x}}=0$ donc par quotient de limites,
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{e^{2x}−4}{e^{2x}+4}=\dfrac{1}{1}=1$
Ainsi, on en déduit :
Penser aussi aux limites aux bornes de l'ensemble de définition.
Question 3
Donner l'équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$. Tracer $T$ et $C_f$
Donnons l'équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$ :
Elle est de la forme $y-f(0)=f'(0)(x-0)$
Soit : $y=\dfrac{16}{25}x -\dfrac{3}{5}$
L'équation est du type : $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
Question 4
Démontrer que l'équation $f(x)=\dfrac{3}{5}$ a une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,01$ près.
La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-1$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=1$
Or $\dfrac{3}{5}\in ]-1;1[$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=\dfrac{3}{5}$.
D'après la calculatrice : $1,38<\alpha<1,39$.
Il faut utiliser un théorème célèbre qui utilise la continuité et la monotonie de la fonction.