Cours Stage - Fonction exponentielle, équations, variations
QCM
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  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Pour chaque question, il sera proposé trois réponses, dont une seule est juste. Le but étant de se familiariser avec les dérivées faisant intervenir la fonction exponentielle.


Tu as obtenu le score de


Question 1

Soit  $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par 

$f(x) = e^{2x + 1}$

Calculer $f'(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = e^{2x + 1}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = 2  e^{2x + 1}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = (2x + 1)  e^{2x + 1}$

On pourra poser $u(x) = 2x + 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et se souvenir que $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

 

Soit  $x \in \mathbb{R}$,

on pose $u(x) = 2x +1$. 

Ainsi, comme $u'(x) = 2$ et que $ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} $, on en déduit que :

$f'(x) = 2e^{2x + 1}$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par 

$ f(x) = e^{x^2 + 3x + 1} $

Calculer $f'(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = (5x)  e^{x^2 + 3x + 1}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$f'(x) = (2x + 3)  e^{x^2 + 3x + 1}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

$ f'(x) = (x^2+3x+1)e^{x^2 + 3x + 1} $

Soit  $x \in \mathbb{R}$,

on pose $u(x) = x^2 + 3x + 1$. 

Ainsi, comme $u'(x) = 2x + 3$ et que $ f'(x) = u'(x)e^{u(x)} $, on en déduit que :

$f'(x) = (2x + 3)e^{2x + 1}$

Question 3

Soit  $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par 

$ f(x) = e^{\frac{1}{x}} $

Calculer $f'(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = -2 e^{\frac{1}{x}} $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = \dfrac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,

on pose $u(x) = \dfrac{1}{x}$

On a alors $u'(x) = \dfrac{-1}{x^2}$

Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$

C'est-à -dire $f'(x) = \dfrac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2}  $

Question 4

Soit  $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par 

$ f(x) = e^{\sqrt{x}} $

Calculer $f'(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = -\dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, 

$ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$,

on pose $u(x) = \sqrt{x}$

On a alors $u'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$

C'est-à-dire $ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}  $

Question 5

Soit  $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$ par 

$ f(x) = e^{2e^{x}} $

Calculer $f'(x)$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, 

$ f'(x) = 2e^{2e^{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, 

$ f'(x) = 2 e^{x^2 + 2e^{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, 

$ f'(x) = 2 e^{x + 2e^{x}}  $

Pour tout $x \in \mathbb{R}$,

on pose $u(x) = 2e^x$

On a alors $u'(x) = 2e^x$

Ainsi comme $f'(x) = u'(x) e^{u(x)}$

C'est-à-dire $ f'(x) = 2 e^{x} \times e^{2e^{x}} $

Or $e^{a + b} = e^a \times e^b$ pour tout $a, b \in \mathbb{R}$

Ainsi $f'(x) = 2 e^{x + 2e^{x}}$