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Video
Fonctions composées - exp(u(x))
2
Exercice
QCM - Dérivées de fonctions exponentielles
3
Video
Équations, inéquations et fonctions exponentielles
4
Video
Exponentielles Équations, inéquations - Exercice 3
5
Exercice
Exercice - Changements de variables, exponentielles
6
Exercice
Exercice - Etude d'une fonction exponentielle
L'énoncé
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
Question 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x}+3e^x-4=0\)
On pose \(X = e^x\), on obtient : \(X^2+3X-4 = 0\)
En calculant le discriminant, il vient : \( X = 1\) ou \(X = -4\)
\(X = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
et \(X = -4\) est impossible car \(e^x > 0\)
Finalement : \(S = \{0\}\)
\(e^{2x} = (e^x)^2\)
Poser \(e^x = X\)
Le trinôme qui apparait a un discriminant positif.
Trouvez les racines \(X_1\) et \(X_2\) puis les valeurs (si elles existent) de \(x\) associées.
Attention aux valeurs négatives de \(X\) !
Question 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{3x} - e^x = 0\)
On pose \(X = e^x\) on obtient :
\(X^3 - X = 0 \Leftrightarrow X(X^2-1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow X = 0; 1 \text{ ou } -1\)
\(X = 0\) ou \(X=-1\) sont impossibles car \( e^x > 0\)
et \(X = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Ainsi : \(S = \{0\}\)
Un changement de variable peut encore être utile.
Il faudra éliminer certaines solutions lors de la résolution de l’équation.
\(e^x>o\) pour tout réel \(x\)… les valeurs de \(X =0\) et \(X = -1\) sont donc exclues.
Question 3
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^x+e^{-x} = 1 \)
On pose \(X = e^x\). On obtient :
\(X + \dfrac{1}{X} = 1 \Leftrightarrow X^2-X + 1 = 0\)
\(\Delta = -3\), il n'y a donc pas de solution.
Il faut encore procéder à un changement de variable.
Réduire au même dénominateur l’expression obtenue.
Le dénominateur ne devrait pas pouvoir s’annuler. Vous pouvez résoudre l’équation obtenue. Ou au moins pouvoir conclure.
Question 4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x-1} < \sqrt{e}\)
\(e^{2x-1} < \sqrt{e} \)
\(\Leftrightarrow e^{2x-1} < e^{\frac{1}{2}} \)
\(\Leftrightarrow 2x-1 < \dfrac{1}{2} \)
\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{4}\)
\(S =\left] -\infty ; \dfrac{3}{4}\right[\)
\(\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}\)
\(e^a \geq e^b\) si et seulement si \(a \geq b\)
Présentez les solutions sous la forme d'un intervalle, c'est l'usage.
Question 5
Résoudre dans \(\mathbb{R}-\left\{\dfrac{-1}{3}\right\}\) :
\(e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > \dfrac{1}{e^2}\)
\(e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > \dfrac{1}{e^2} \)
\(\Leftrightarrow e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > e^{-2} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1} > -2 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1} + 2 > 0\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1+6x+2}{3x+1} > 0 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{8x+1}{3x+1} > 0\)
\(S = \left]-\infty; -\dfrac{1}{3}\right[ \bigcup \left]-\dfrac{1}{8};+\infty\right[\)
\(\frac{1}{e^x} = e^{-x}\) pour tout réel \(x\).
Utilisez à nouveau la propriété \(e^a \geq e^b\) si et seulement si \(a \geq b\)
Un tableau de signe peut s’avérer utile pour résoudre cette inéquation.