Cours Stage - Fonction exponentielle, équations, variations

Exercice - Changements de variables, exponentielles

L'énoncé

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

Question 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x}+3e^x-4=0\)

On pose \(X = e^x\), on obtient : \(X^2+3X-4 = 0\)

En calculant le discriminant, il vient : \( X = 1\) ou \(X = -4\)

\(X = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

et \(X = -4\) est impossible car \(e^x > 0\)

Finalement : \(S = \{0\}\)

\(e^{2x} = (e^x)^2\)


Poser \(e^x = X\)


Le trinôme qui apparait a un discriminant positif.


Trouvez les racines \(X_1\) et \(X_2\) puis les valeurs (si elles existent) de \(x\) associées.


Attention aux valeurs négatives de \(X\) !

Question 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{3x} - e^x = 0\)

On pose \(X = e^x\) on obtient :
\(X^3 - X = 0 \Leftrightarrow X(X^2-1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow X = 0; 1 \text{ ou } -1\)

\(X = 0\) ou \(X=-1\) sont impossibles car \( e^x > 0\)

et \(X = 1 \Leftrightarrow x = 0\).

Ainsi : \(S = \{0\}\)

Un changement de variable peut encore être utile.


Il faudra éliminer certaines solutions lors de la résolution de l’équation.


\(e^x>o\) pour tout réel \(x\)… les valeurs de \(X =0\) et \(X = -1\) sont donc exclues.

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :  \(e^x+e^{-x} = 1 \)

On pose \(X = e^x\). On obtient :
\(X + \dfrac{1}{X} = 1 \Leftrightarrow X^2-X + 1 = 0\)

\(\Delta = -3\), il n'y a donc pas de solution.

Il faut encore procéder à un changement de variable.


Réduire au même dénominateur l’expression obtenue.


Le dénominateur ne devrait pas pouvoir s’annuler. Vous pouvez résoudre l’équation obtenue. Ou au moins pouvoir conclure.

Question 4

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :  \(e^{2x-1} < \sqrt{e}\)

\(e^{2x-1} < \sqrt{e} \)

\(\Leftrightarrow e^{2x-1} < e^{\frac{1}{2}} \)

\(\Leftrightarrow 2x-1 < \dfrac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{4}\)

\(S =\left] -\infty ; \dfrac{3}{4}\right[\)

\(\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}\)


\(e^a \geq e^b\) si et seulement si \(a \geq b\)


Présentez les solutions sous la forme d'un intervalle, c'est l'usage.

Question 5

Résoudre dans \(\mathbb{R}-\left\{\dfrac{-1}{3}\right\}\) :

\(e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > \dfrac{1}{e^2}\)

\(e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > \dfrac{1}{e^2} \)

\(\Leftrightarrow e^{\frac{2x-1}{3x+1}} > e^{-2} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1} > -2 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1} + 2 > 0\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{2x-1+6x+2}{3x+1} > 0 \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{8x+1}{3x+1} > 0\)

\(S = \left]-\infty; -\dfrac{1}{3}\right[ \bigcup \left]-\dfrac{1}{8};+\infty\right[\)

\(\frac{1}{e^x} = e^{-x}\) pour tout réel \(x\).


Utilisez à nouveau la propriété \(e^a \geq e^b\) si et seulement si \(a \geq b\)


Un tableau de signe peut s’avérer utile pour résoudre cette inéquation.