Cours Croissance comparées $e^x$ et $x^n$

Exercice - Limite d'une fonction exponentielle

L'énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)= \dfrac{5e^{-3x}}{2+10e^{-3x}}$


Question 1

Montrer que : $f(x)= \dfrac{5}{2e^{3x}+10}$

On factorise par $e^{-3x}$

On a, pour tout réel $x$ : 

$f(x)= \dfrac{5e^{-3x}}{2+10e^{-3x}}$

$\iff  f(x)= \dfrac{e^{-3x}\times 5}{e^{-3x}\times (2e^{3x}+10)}$

 $\iff f(x)= \dfrac{5}{2e^{3x}+10}$

Question 2

En déduire la limite au voisinage de $+\infty$ de $f$.

On utilise la seconde expression qui ne présente pas de forme indéterminée.

On a : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2e^{3x}=+\infty$

Donc $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2e^{3x}+10=+\infty$

Ainsi, par quotient de limites :

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{5}{2e^{3x}+10}=0$

Question 3

En déduire l'existence d'une asymptote à la représentation graphique de $f$.

Par définition, puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ alors $C_f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=0$ au voisinage de $+\infty$

Question 4

Tracer la fonction sur votre calculatrice et repérer l'asymptote.

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