Cours Équations différentielles y' = ay + b
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Question 1

Combien existe-t-il de solution(s) à l'équation différentielle $y' = 2y - 6$ ?

On ne peut pas trouver de solution.

1, celle donnée par la propriété du cours.

Une infinité.

D'après le cours, on sait que la forme générale des solutions est $Ce^{2x} + \dfrac{6}{2} = Ce^{2x} + 3$ avec $C \in \mathbb{R}$.

Or $C$ est une constante mais n'est pas fixée. Ainsi, $C$ peut prendre toutes les valeurs réelles et la fonction ainsi formée sera encore solution de l'équation différentielle.

Pour se convaincre, on pourra vérifier par exemple que $2e^{2x} + 3$ et $-14e^{2x} + 3$ sont bien solutions de l'équation différentielle $y' = 2y - 6$.

Que vaut $C$ dans la vidéo du cours ? 

Question 2

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $-3y' + y - 7 = 0$

$Ce^{x}+7$ ; $C \in \mathbb{R}$

$Ce^{\frac{x}{3}}+7$ ; $C \in \mathbb{R}$

On se ramène au cas du cours.

$-3y' + y - 7 = 0 \iff -3y' = -y + 7 \iff y' = \dfrac{y}{3} - \dfrac{7}{3}$

On applique donc la formule avec $a = \dfrac{1}{3}$ et $b = - \dfrac{7}{3}$

Ainsi les solutions sont la forme $Ce^{\frac{x}{3}}- \dfrac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = Ce^{\frac{x}{3}}+7$

$Ce^{-\frac{x}{3}}-\dfrac{7}{3}$ ; $C \in \mathbb{R}$

$Ce^{\frac{x}{3}}+\dfrac{7}{3}$ ; $C \in \mathbb{R}$

On pourra se ramener au cas du cours. 

Question 3

Donner la solution de l'équation différentielle $-3y' + y - 7 = 0$ telle que $y(0) = 0$.

$Ce^{\frac{x}{3}}+7$; $C \in \mathbb{R}$

$e^{\frac{x}{3}}+7$

$7\left (1-e^{\frac{x}{3}} \right)$

On sait d'après la question précédente que la forme générale des solutions de l'équation $-3y' + y - 7 = 0$ est $Ce^{\frac{x}{3}}+7$.

On impose que $y(0) = 0$. On cherche donc $C$ qui permet à la solution de vérifier la condition précédente.

$y(0) = 0 \iff Ce^{\frac{0}{3}}+7 = 0 \iff C + 7 = 0 \iff C = - 7$.

On remplace alors $C$ par sa valeur :

$y = -7e^{\frac{x}{3}}+7$ ou encore en factorisant par $7$ : $y = 7\left (1-e^{\frac{x}{3}} \right )$

$-7e^{\frac{x}{3}}+7$

On sait d'après la question précédente que la forme générale des solutions de l'équation $-3y' + y - 7 = 0$ est $Ce^{\frac{x}{3}}+7$.

On impose que $y(0) = 0$. On cherche donc $C$ qui permet à la solution de vérifier la condition précédente.

$y(0) = 0 \iff Ce^{\frac{0}{3}}+7 = 0 \iff C + 7 = 0 \iff C = - 7$.

On remplace alors $C$ par sa valeur :

$y = -7e^{\frac{x}{3}}+7$

On pourra utiliser la question précédente.

Question 4

Donner la solution de l'équation différentielle $y' - 2y +1 = 0$ qui s'annule en $x = 2$.

$y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} e^{2 x - 4}$

On commence par trouver la forme générale des solutions.

$y' - 2y +1 = 0 \iff y' = 2y - 1$. On applique donc la propriété du cours avec $a = 2$ et $b = -1$.

Ainsi la forme générale des solutions est $y = Ce^{2x} - \dfrac{-1}{2} = Ce^{2x} + \dfrac{1}{2} $ avec $C \in \mathbb{R}$.

On cherche ensuite la solution qui s'annule en $x = 2$ c'est-à-dire la solution $y$ telle que $y(2) = 0$.

On doit donc résoudre l'équation en $C$ :

$ y(2) = 0 \iff Ce^{2 \times 2} + \dfrac{1}{2} = 0 \iff C = -\dfrac{e^{-4}}{2}$.

On remplace alors $C$ par la valeur ainsi trouvée :

$y = -\dfrac{e^{-4}}{2}\times e^{2x}+ \dfrac{1}{2}$ c'est à dire $y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} e^{2 x - 4}$.

$y = \dfrac{1}{2} \left ( 1 - e^{2 x - 4} \right )$

On commence par trouver la forme générale des solutions.

$y' - 2y +1 = 0 \iff y' = 2y - 1$. On applique donc la propriété du cours avec $a = 2$ et $b = -1$.

Ainsi la forme générale des solutions est $y = Ce^{2x} - \dfrac{-1}{2} = Ce^{2x} + \dfrac{1}{2} $ avec $C \in \mathbb{R}$.

On cherche ensuite la solution qui s'annule en $x = 2$ c'est-à-dire la solution $y$ telle que $y(2) = 0$.

On doit donc résoudre l'équation en $C$ :

$ y(2) = 0 \iff Ce^{2 \times 2} + \dfrac{1}{2} = 0 \iff C = -\dfrac{e^{-4}}{2}$.

On remplace alors $C$ par la valeur ainsi trouvée :

$y = -\dfrac{e^{-4}}{2}\times e^{2x}+ \dfrac{1}{2}$ c'est à dire $y = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} e^{2 x - 4}$ ou bien en factorisant par $\dfrac{1}{2}$ : $y = \dfrac{1}{2} \left ( 1 - e^{2 x - 4} \right )$

Aucune des réponses.

On commencera par trouver la forme générale des solutions de l'équation...


... puis on se demandera ce que signifie s'annuler en $x = 2$...


On cherche donc la solution $y$ telle que $y(2) = 0$.

Question 5

Donner la solution de l'équation différentielle $y' + y - 4 = 0$ telle que $y(0) = e$. 

$y = e^{-x} (4 e^x - 4 + e)$

On commence par trouver la forme générale de la solution en se ramenant à la forme du cours.

$y' + y - 4 = 0 \iff y' = -y + 4$. On applique donc la formule du cours avec $a = -1$ et $b = 4$.

La forme générale des solutions est donc $y = Ce^{-x} - \dfrac{4}{-1} = Ce^{-x} + 4$.

On cherche ensuite $C$ qui permet de vérifier la condition que l'on impose, à savoir $y(0) = e$.

Ainsi $y(0) = e \iff Ce^{0} + 4 = e \iff C = e - 4$.

En remplaçant dans la fonction on trouve :

$y = (e - 4)e^{-x} + 4$ et en factorisant par $e^{-x}$ on obtient $y = e^{-x} (4 e^x - 4 + e)$.

$y = -4 e^x + e^{x + 1} + 4$

$y =  e^x  (-4 + e + 4e^{-x})$

On commence par trouver la forme générale des solutions.


Puis on cherchera la valeur de $C$ qui permet de vérifier la condition imposée. 


Pour rappel $e = e^1$.