Cours Stage - Équations différentielles y' = ay + b
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L'énoncé

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Question 1

Quelle est la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ ? 

$e^{ax}$

$Ce^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.

C'est une propriété démontrée dans une vidéo précédente. 

$e^{ax} + C$ où $C$ est une constante réelle.

Question 2

Quelle hypothèse doit être faite sur $a$ ? 

$a$ doit être non nul.

Il s'agit sinon de trouver une primitive de $y$ ($y' = b$). 

$a$ doit être positif. 

$a$ doit être un entier.

Question 3

Quelle est la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ avec $a$ un réel non nul ? 

$Ce^{ax}$ où $C$ est un réel.

$e^{ax} - \dfrac{b}{a}$

$Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel.

Il s'agit d'une propriété. 

Question 4

La démonstration de la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ est exigible. 

Oui

Non

Contrairement à la démonstration de la forme générale de la solution $y' = ay$ qui est à connaître, la démonstration de la forme des solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$ n'est pas à connaître. Cependant, on conseille de la lire. 

Question 5

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = 3y + 2$. 

$y = Ce^{3x}$ où $C$ est une constante réelle.

$y = e^{3x} - \dfrac{2}{3}$

$y = Ce^{3x} - \dfrac{2}{3}$ où $C$ est une constante réelle.

On applique la propriété avec $a = 3$ et $b = 2$. 

Question 6

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' = y - 5$.

$y = Ce^{x}  + 5$ où $C$ est une constante réelle.

On applique la propriété du cours avec $a = 1$ et $b=-5$.

$y = Ce^{1x} - \dfrac{-5}{1} = Ce^x + 5$

$y = Ce^{x}  - 5$ où $C$ est une constante réelle.

$y = e^{x}  + 5$

Question 7

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 3y = 1$.

$y = Ce^{3x} - \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.

$y = Ce^{-3x} - \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.

$y = Ce^{-3x} + \dfrac{1}{3}$ où $C$ est une constante réelle.

On se ramène au cas du cours. $y' + 3y = 1 \iff y' = -3y + 1$

On applique donc la propriété du cours avec $a = -3$ et $ b = 1$.

Question 8

Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' - 2y = 9$.

$y = Ce^{-2x} + \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.

$y = Ce^{2x} - \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.

On se ramène au cas du cours.

$y' - 2y = 9 \iff y' = 2y + 9$. On applique donc la propriété avec $a = 2$ et $b = 9$.

$y = Ce^{2x} + \dfrac{9}{2}$ où $C$ est une constante réelle.

Question 9

Si $b = 0$ alors la forme de la solution donnée par la propriété est fausse. 

Vrai

Faux

La propriété donne la forme générale des solutions :
$y =Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$.

Si $b = 0$, l'équation se réécrit $y' = ay$ et la solution se réécrit $y =Ce^{ax}$, ce qui est exactement la solution donnée dans le cours sur les équations différentielles de la forme $y' = ay$.

Question 10

Toute équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ non nuls admet toujours une solution.

Oui

La propriété nous dit que l'équation de la forme $y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ non nuls admet une solution de la forme $y =Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$. 

Non