Cours Stage - Équations différentielles y' = ay + b

Exercice - Équation différentielles $y' = ay + b$

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes. 


Question 1

Rappeller la démonstration de la propriété donnant la forme générale des solutions de la forme $y' = ay$ avec $a \in \mathbb{R}$.

Soit $x \in \mathbb{R}$,

Soit $f$ une fonction de la forme $Ce^{ax}$ avec $a$ et $C$ deux réels,

Alors $f'(x) = Cae^{ax}$.

En outre, $af(x) = a\times Ce^{ax} = Cae^{ax} = f'(x)$.

Ainsi, les fonctions de la forme $Ce^{ax}$ sont solutions de l'équation $y' = ay$.

 

Réciproquement, 

Soit $g$ une fonction solution non nulle de l'équation $y' = ay$,

On définit la fonction $z(x)$ par $e^{-ax}g(x)$.

On calcule alors la dérivée de $z$ (qui existe en tant que produit de fonctions dérivables).

Ainsi $z'(x) = -ae^{ax}g(x) + e^{-ax}g'(x)$.

Or $g$ est solution de l'équation $y' = ay$.

Donc $g'(x) = ag(x)$.


Finalement,

$z'(x) = -ae^{ax}g(x) + e^{-ax}g'(x) =-ae^{ax}g(x)  + e^{-ax} \times (a g(x)) = -ae^{ax}g(x)  +a e^{-ax}g(x) = 0$.

Ainsi, $z'$ est nulle sur $\mathbb{R}$ donc il existe une constante $k$ telle que $z = k$.

Ainsi, $e^{-ax}g(x) = k$ donc $g(x) = ke^{ax}$.

On procèdera à une démonstration en deux temps. 

Question 2

Dans une culture de microbes, le nombre de bactéries à un instant $t$, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction $N(t)$.

La vitesse de prolifération correspond à la dérivée de $N(t)$.

En outre, un premier modèle sur l'évolution du nombre de bactéries est de considérer la vitesse de prolifération des bactéries proportionnelle au nombre de bactéries en présence, c'est à dire $N'(t) = kN(t)$ avec $k$ une constante dépendant des conditions du milieu. 

Que vaut $N(t)$ en supposant qu'il y avait initialement $N_0$ bactéries ?

On applique la propriété précédente.

La forme générale des solutions est $N(t) = Ce^{kt}$ avec $C$ une constante réelle.

Or $N(0) = N_0$. Or d'après la formule $N(0) = Ce^{k\times 0} = C$.

Finalement $N(t) = N_0e^{kt}$.

On appliquera la propriété précédemment démontrée.

Question 3

Que vaut $k$ en sachant que le nombre de bactéries a quadruplé en deux heures ?

On sait que le nombre de bactéries a quadruplé en deux heures, c'est-à-dire $N(2) = 4N_0$.

Or $N(2) = N_0e^{2k}$.

Ainsi, $N_0e^{2k} = 4N_0 \iff e^{2k} = 4 \iff 2k = \ln(4) \iff 2k = 2\ln(2) \iff k = \ln(2)$

On exprimera $N(2)$ de deux manières différentes.

Question 4

Quelle est, d'après vous, la limite de ce premier modèle ?

On peut remarquer que $N$ tend vers l'infini quand $t$ tend vers l'infini d'après les propriétés de la fonction exponentielle ($N_0 > 0$).

Or, le milieu étant fini (volume fini et quantité de nutriments finie), il ne peut y avoir une augmentation infinie du nombre de bactéries.

Que vaut $N$ quand $t$ tend vers l'infini ?

Question 5

On présente alors un nouveau modèle d'évolution afin de répondre aux limites précédemment explicitées.

On suppose ainsi que le nombre de bactéries $N(t)$ suit l'équation différentielle suivante :

$N'(t) = aN(t) (M - N(t))$ où $a$ et $M$ sont des réels strictement positif.

On pose $P(t) = \dfrac{1}{N(t)}$, en supposant que $N(t)$ est non nulle.

Montrer que $P$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = py + q$ avec $p$ et $q$ deux réels que l'on explicitera en fonction de $a$ et $M$.

On sait que $P(t) = \dfrac{1}{N(t)}$, c'est à dire $N(t) = \dfrac{1}{P(t)}$.

En outre, $N'(t) = \dfrac{-P'(t)}{P^2(t)}$.

On sait aussi que $N'(t) = aN(t) (M - N(t))$.

Ainsi $-\dfrac{P'(t)}{P^2(t)} = aN(t) (M - N(t)) = \dfrac{a}{P(t)}\left  (M - \dfrac{1}{P(t)} \right ) = \dfrac{aMP(t) - a}{P^2(t)}$.


Finalement $P'(t) = a - aMP(t)$.

On vient donc de montrer que $P(t)$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = py + q$, avec $p = -aM$ et $q = a$.

On exprimera $N'(t)$ en fonction de $P$ et de sa dérivée. 

Question 6

Résoudre l'équation différentielle dont $P(t)$ est la solution puis en déduire $N(t)$.

On a montré que $P'(t) = a - aMP(t)$ à la question précédente, $P(t)$ est solution d'une équation différentielle de la forme $y' = py + q$, avec $p = -aM$ et $q = a$.

On en déduit alors que $P(t) = Ce^{-aMt} - \dfrac{a}{-aM} = Ce^{-aMt} + \dfrac{1}{M}$ avec $C$ une constante réelle.

En outre, on sait que $N(t) = \dfrac{1}{P(t)}$.

Ainsi $N(t) = \dfrac{1}{ Ce^{-aMt} + \dfrac{1}{M}} = \dfrac{M}{MCe^{-aMt} + 1}$.

Or on sait par hypothèse que $N(0) = N_0$.

Donc, $N_0 = \dfrac{M}{MCe^{-aM\times 0} + 1} \iff C =\dfrac{1}{N_0}-\dfrac{1}{M}$.

Finalement, on a $N(t) = \dfrac{M}{\left ( \dfrac{M}{N_0}- 1 \right ) e^{-aMt} + 1}$

Appliquer la propriété du cours. 

Question 7

Quel est l'avantage de ce nouveau modèle ?

Calculons $\lim \limits _{t \to + \infty} N(t)$.

Calculons donc tout d'abord $\lim \limits _{t \to + \infty} e^{-aMt}$.

On pose $X = aMt$.

Ainsi, $\lim \limits _{t \to + \infty} e^{-aMt} = \lim \limits _{X \to + \infty} e^{-X} = 0$ car $a$ et $M$ sont positifs.

Donc $ \lim \limits _{t \to + \infty} \left ( \dfrac{M}{N_0}- 1 \right ) e^{-aMt} + 1 =1 $

Finalement $\lim \limits _{t \to + \infty} N(t) = \lim \limits _{t \to + \infty} \dfrac{M}{\left ( \dfrac{M}{N_0}- 1 \right ) e^{-aMt} + 1} =  M$.

Le nombre de bactéries finit donc par se stabiliser !

On pourra calculer $\lim \limits _{t \to + \infty} N(t)$