Cours Stage - Équations différentielles y' = f(x)

Équations différentielles de la forme y'=f(x) et notions de primitives

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Fiche de cours

Equations différentielles de la forme $y'=f(x)$ et notion de primitive

 

Définition :


Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

Il s'agit d'une équation qui fait intervenir une fonction ainsi que sa dérivée ou ses dérivées successives (par exemple la dérivée de la dérivée que l'on appelle dérivée seconde, ...). 

On note cette fonction inconnue $y$, en référence au fait que l'on cherche ici une fonction, qui correspond graphiquement à l'ordonnée du point.

 

Exemples :

 

1) On veut résoudre l'équation différentielle $y' = 2x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

En d'autres termes, on cherche à déterminer toutes les fonctions $g$ dont la dérivée vaut $2x$ c'est à dire les fonctions telles que $g'(x) = 2x$.

Or, on sait qu'une fonction qui a pour dérivée $2x$ est $x^2$. Une solution est donc $g_1(x) = x^2$.

Mais, on peut aussi remarquer que $g_2(x) = x^2 + 3$ est aussi solution de l'équation différentielle $y' = 2x$ car la dérivée d'une constante est nulle.

Ainsi, toute fonction de la forme $g(x) = x^2 + C$ où $C$ est une constante réelle, est solution de l'éq

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