Cours Probabilités conditionnelles
Exercice d'application

Exercice : Probabilités conditionnelles

Un magasin stocke un certain produit dans des boîtes. Ces boîtes sont de 2 couleurs : rouges dans la proportion 25%, bleue dans la proportion 75%. Elles sont protégées par des cartons identiques entre eux. Chaque carton ne contient qu'une seule boîte. Certains cartons portent, en dessous et à l'extérieur, la marque M, les autres ne portent aucune marque.

On précise d'autre part que

- parmi les cartons contenant une boîte rouge, 45% portent la fameuse marque M

- parmi les cartons contenant une boîte bleue, 60% portent la marque M.

On prend au hasard un carton dans le magasin.

1) On ouvre le carton tiré. On remarque qu'il contient une boîte rouge. Quelle est la probabilité p1 que le carton porte la marque M ? Si la boîte contenue dans le carton était bleue, quelle serait la probabilité p2 que le carton porte la marque M ?

2) Quel est le pourcentage de cartons qui portent la marque M ? En déduire la probabilité p3 qu'un carton tiré porte la marque M.

3) On n'ouvre pas le carton tiré. On remarque toutefois qu'il porte la marque M. Quelle est la probabilité p4 que ce carton marqué M contienne une boîte rouge ?

  Rouge Bleue total
M 1125 4500 5625
$\bar{M}$ 1375 3000 4375
Total 2500 7500 10000

1) $p_1=P_R(M)=0,45=\frac{1125}{2500}$ et $p_2=P_B(M)=0,6=\frac{4500}{7500}$

2) 56,25% des cartons qui portent la marque M et $p_3=P(M) =\frac{5625}{10000}=0,5625.$

3) $p_4=P_M(R)=\frac{1125}{5625}=0,2.$