Cours Linéarité de l'espérance
QCM
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  • 3
  • 4
  • 5

L'énoncé

Choisir la ou les bonnes réponse(s) parmi celles proposées.


Tu as obtenu le score de


Question 1

On considère un lancer de dé à 6 face non pipé. On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si le dé affiche un nombre impair et 2 sinon.

Calculer l'espérance de $X.$

2

1

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

L'espérance de $X$ vaut $E(X)=\dfrac{1+2+1+2+1+2}{6}=\dfrac{3}{2}$.

Question 2

On considère une expérience aléatoire ayant deux issues : le succès de probabilité $\dfrac{1}{3}$ et l'échec de probabilité $\dfrac{2}{3}$

On répète cette expérience aléatoire $n$ fois et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès.

Calculer $\mathbb{E}(X)$

$\mathbb{E}(X)= n$

$\mathbb{E}(X)= \dfrac{n}{2}$

$\mathbb{E}(X)= \dfrac{n}{3}$

L'espérance de $X$ vaut $\mathbb{E}(X)= \dfrac {1 + \ldots + 1}{3}= \frac{n}{3}$

$\mathbb{E}(X) = \dfrac{n}{4}$

Question 3

On considère une urne contenant 3 boules blanches et 8 boules noires.

Un joueur pioche une boule dans l'urne : si elle est blanche il marque 1 point, mais si elle est noire il en marque 2.

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au score du joueur après trois tirages avec remise. Calculer l'espérance de $X.$

$\dfrac{58}{11}$

$\dfrac{56}{11}$

$\dfrac{57}{11}$

L'espérance de $X$ vaut $3 \times (\dfrac{3}{11} + 2 \times \dfrac{8}{11}) =  \dfrac{57}{11}$

$\dfrac{60}{11}$

Question 4

Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\lbrace{1,2}\rbrace$ telle que $\mathbb{E}(X^2) = 2$

Calculer $\mathbb{E}(X)$.

$\dfrac{5}{3}$

$\mathbb{E}(X^2) = P(X=1) + 4 P(X=2) = 2$

On en déduit que $ 1- P(X=2)  + 4P(X=2) = 2 \iff 3 P (X=2) = 1 \iff P(X=2) = \dfrac{1}{3}$

Donc $P(X=2) = 1 - P(X=1) = \dfrac{2}{3}$

Et finalement $\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{3} + 2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{2}{3}$

2

Formule du transfert : $\mathbb{E}(X^2) = 1 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2)$

et $P(X=1) + P(X=2) = 1

Question 5

Soit $X$ une variable aléatoire discrète impaire définie sur un ensemble de réels $I,$ tel que $\forall x \in I, -x \in I$

$X$ est telle que $\forall x \in I, P(X=x) = P(X=-x)$.

Que dire de $\mathbb{E}(X)$ ?

L'espérance de $X$ est nulle.

$\mathbb{E}(X)= 0$ car $\mathbb{E}(X) = \displaystyle\sum\limits_{x \in I}{P(X=x) \times x} = 0$

On ne peut rien dire de particulier.

L'espérance de $X$ est strictement positive.

L'espérance de $X$ est strictement négative.