Variable aléatoire, espérance

Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire et loi de probabilité

 

I. Variable aléatoire

Définition de la variable aléatoire

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

Étant donnée une expérience aléatoire, on appelle variable aléatoire, toute grandeur numérique dont la valeur dépend de l’issue de l’expérience.

Exemple de variable aléatoire

On lance un dé à 6 faces.

Si le résultat est pair, le joueur gagne le double du résultat.

Si le résultat est impair, le joueur perd le double du résultat.

Soit $X$ la variable aléatoire mesurant le gain du joueur.

Voici les valeurs possibles de $X$ :

--40

 

II. Loi de probabilité

Définition de la loi de probabilité

Qu’est-ce que la loi de probabilité ?

La loi de probabilité d’une variable aléatoire est l’ensemble des valeurs possibles de $X$ et les probabilités de chacune d’elles.

--41

La somme des probabilités associées aux valeurs de $X$ est égale à 1.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i=1$

 

Erratum : Sur le tableau de l’exemple du 2) il est écrit \(-1\), il s’agit en fait de \(-2\).

Espérance de la variable aléatoire

Espérance de la variable aléatoire

Définition de l’espérance de la variable aléatoire

Qu’est-ce que l’espérance de la variable aléatoire ?

Soit $X$ une variable aléatoire et sa loi de probabilité :

--41

On appelle espérance de la variable aléatoire $X$, le nombre $E(X)$ :

$E(X)=x_1 \times p_1+x_2 \times p_2+\ldots+x_n \times p_n$

$E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$

Exemple de l’espérance d’une variable aléatoire

Calculer l’espérance de $X$ :

--42

$E(X)= -2 \times 0{,}2 + 3\times 0{,}3 + 5 \times 0{,}5 $

$E(X)=3$

Interprétation de l'espérance

Interprétation de l’espérance de la variable aléatoire

Qu’est-ce que l’interprétation de l’espérance de la variable aléatoire ?

L’espérance de $X$ représente la valeur moyenne de $X$ : c’est celle que l’on peut espérer obtenir en répétant un grand nombre de fois l’expérience.

Exemple

On lance une pièce truquée : la probabilité d’obtenir pile est de $0{,}6$.

  • Si on obtient pile, on perd 1 euro.
  • Si on obtient face, on gagne 2 euros.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain du joueur.  Déterminer et interpréter son espérance.

 

Étape 1 : Loi de probabilité de $X$

--43

Étape 2 : Calcul de l’espérance

$E(X)= -1 \times 0{,}6 + 2 \times 0{,}4 $

$E(X)= 0{,}2$

Étape 3 : Interprétation de l’espérance

En répétant un grand nombre de fois l’expérience, on peut espérer avoir un gain moyen de 0,2 soit 20 centimes d’euros par lancer.

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