Cours Stage - Suites convergentes

Exercice - Suites convergentes

L'énoncé

Soit $(u_n)$ une suite vérifiant : $\left\{\begin{array}{l}u_0 = 1 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2} u_n + \dfrac{1}{4} \end{array}\right.$

 


Question 1

Calculer $u_1,u_2,u_3,u_4$.

$u_1 = \frac{3}{4}$

$u_2 = \frac{5}{8}$

$u_3 = \frac{9}{16}$

$u_4 = \frac{17}{32}$

Question 2

Résoudre l'équation : $x= \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{4}$

$x= \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{4} \iff \dfrac{1}{2} x = \dfrac{1}{4} \iff x = \dfrac{1}{2}$

Question 3

Montrer que la suite $v_n=u_n - \dfrac{1}{2}$ est géométrique, préciser sa raison $q$.

$v_{n+1}=u_{n+1} - \dfrac{1}{2} $

$v_{n+1}= \dfrac{1}{2} u_n + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} $

$v_{n+1}= \dfrac{1}{2} (u_n - \dfrac{1}{2})$

$v_{n+1}=\dfrac{1}{2} v_n$

Cette suite est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$

Question 4

En déduire l'expression de cette suite, ainsi que sa limite.

Cette suite a donc pour expression :

$v_n=v_0\times q^n$

$v_n=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

$v_n= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$, elle a pour limite $0$.

Question 5

En déduire l'expression, puis la limite de la suite $(u_n)$.

On sait que : $v_n=u_n - \dfrac{1}{2}$

On en déduit que $u_n = \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

Cette suite tend vers $\dfrac{1}{2}$