Cours Raisonnement par récurrence
Exercice d'application

Exercice : Suites - les fondamentaux

On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$,

$u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + n -2$. 

 

1) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

 

2) a) Démontrer que pour tout entier naturel $n \ge 4$, $u_n \ge 0$.

b) En déduire que pour tout entier naturel $n \ge 5$, $u_n \ge n -3$.

c) En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.

 

3) On définit la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n = -2u_n + 3_n - \dfrac{21}{2}$.

a) Démontrer que la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b) En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$,  $u_n = \dfrac{25}{4} \left( \dfrac {1}{3} \right) ^n + \dfrac{3}{2} n - \dfrac{21}{4}$.

c) Soit la somme $S_n$, définie pour tout entier naturel $n$ par :

$S_n =\sum\limits^n_{k=0}u_k$.

Déterminer l'expression de $S_n$ en fonction de $n$.