Cours Stage - suites géométriques

Comportement asymptotique d'une suite géométrique

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Fiche de cours

Comportement asymptotique d'une suite géométrique

 

I) Inégalité de Bernoulli 

 

Enoncé : 

Pour tout réel $a$ positif, 

Pour tout $n \in \mathbb{N}$,

$(1+a)^n \geq 1 +na$

Il convient de connaître la démonstration de cette inégalité à l'aide du principe de récurrence.

 

Démonstration :

Soit $a \in \mathbb{R}_+$,

Initialisation :

On vérifie si la propriété est vraie pour $n = 0$.

Pour $n = 0$, $1 + 0 \times a = 1$ et $(1+a)^0 = 1$ par définition. 

Or $1 \geq 1$ donc $(1+a)^0 \geq 1 + 0 \times a$

La propriété est donc initialisée.

Hérédité :

Soit $n \in \mathbb{N}$,

On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.

Cela signifie donc que $(1+a)^n \geq 1 + na$ (c'est l'hypothèse de récurrence).

Alors $(1 + a)^{n+1} \geq (1+a)(1+a)^n$.

Or on sait d'après l'hypothèse de récurrence que :

$(1+a)^n \geq 1 + na$ , c'est à dire :

$(1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1 + na)$ car $(1 + a) > 0$.

En outre,

$(1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2$.

Or

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