Cours Stage - vecteurs et bases de l'espace

Repère ou base de l'espace

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Repère ou base de l'espace

 

Définition :

 

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ constituent une base de l'espace si et seulement si il n'existe pas de combinaisons linéaires de $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ c'est à dire que lorsque :

$\alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}+ \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$ alors

$\alpha = \beta = \gamma=0$.

Cela signifie aussi que $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires. 

Utiliser un repère dans l'espace permet de trouver les coordonnées de points de l'espace, ce qui permet de résoudre certains problèmes. 

 

Exemple 1 :

Soient ($\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$) une base de l'espace,

Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ et  $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{k}$,

($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$) est-elle une base ?

Soient $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que

$\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0}$

$\iff \alpha \overrightarrow{i}+3\alpha\overrighta

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.