Vecteurs et bases de l’espace

Repère ou base de l'espace

Repère ou base de l’espace

 

Définition :

 

$overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, et $overrightarrow{w}$ constituent une base de l’espace si et seulement si il n’existe pas de combinaisons linéaires de $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, et $overrightarrow{w}$ c’est à dire que lorsque :

$alpha \overrightarrow{u}+ \beta \overrightarrow{v}+ \gamma \overrightarrow{w} = overrightarrow{0}$ alors

$alpha = \beta = gamma=0$.

Cela signifie aussi que $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, et $overrightarrow{w}$ \ne sont pas coplanaires. 

Utiliser un repère dans l’espace permet de trouver les coordonnées de points de l’espace, ce qui permet de résoudre certains problèmes. 

 

Exemple 1 :

Soient ($overrightarrow{i}$, $overrightarrow{j}$, $overrightarrow{k}$) une base de l’espace,

Soient $overrightarrow{u} = overrightarrow{i}+3overrightarrow{j}$, $overrightarrow{v} = -overrightarrow{i}+overrightarrow{j}$ et  $overrightarrow{w} = overrightarrow{k}$,

($overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, $overrightarrow{w}$) est-elle une base ?

Soient $alpha, beta, \gamma \in mathbb{R}$ tels que

$alpha overrightarrow{u}+beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = overrightarrow{0}$

$iff \alpha overrightarrow{i}+3alphaoverrightarrow{j} – \beta \overrightarrow{i}+ \beta \overrightarrow{j} + \gamma \overrightarrow{k} = overrightarrow{0}$

$ \iff (2alpha – beta) \overrightarrow{i} + (3alpha + \beta )overrightarrow{j} + \gamma \overrightarrow{k} = overrightarrow{0}$

Or ($overrightarrow{i}$, $overrightarrow{j}$, $overrightarrow{k}$) est une base de l’espace, ce qui signifie que les trois réels multiplicateurs de la combinaison linéaire précédente sont nuls :

$left \{ \begin{array}{lcc} \alpha – \beta &=& 0 \ 3alpha + \beta &=& 0 \ \gamma &=& 0 \end{array} right.$

$iff \left \{ \begin{array}{lcc} \alpha  &=& \beta \ 4alpha  &=& 0 \ \gamma &=& 0 \end{array} right.$

Ainsi, $alpha = \beta = \gamma = 0$.

Donc ($overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$, $overrightarrow{w}$) est une base.

 

Exemple 2 :

On étudie ici la décomposition d’un vecteur sur une base.

Soit $ABCDEFGH$ un cube,

Soit $I$ milieu de $[FB]$,

cube_base1_2

On souhaite décomposer $overrightarrow{HI}$ sur la base ($overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{AD}$, $overrightarrow{AE}$), qui est une base car les vecteurs \ne sont pas coplanaires car $(AE)$ n’appartient pas au plan $ABD$.

On décompose $overrightarrow{HI}$ grâce à la relation de Chasles :

$overrightarrow{HI} = \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{GF} + overrightarrow{FI}$.

Il s’agit ensuite de faire apparaitre les vecteurs de la base, en utilisant les égalités de vecteurs dans un cube :

$overrightarrow{HI} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD} – \dfrac{1}{2} overrightarrow{AE}$.

Combinaisons linéaires et vecteurs de l'espace

Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace

 

Propriété :

 

Soient $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$ et $overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace non nuls,

On dit que $overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $overrightarrow{u}$ et de $overrightarrow{v}$ s’il existe $alpha, \beta \in mathbb{R}$ tel que

$overrightarrow{w}=alpha \overrightarrow{u}+ \beta overrightarrow{v}$

$overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$ et $overrightarrow{w}$ sont alors coplanaires, c’est à dire qu’ils appartiennent à un même plan.

 

Exercice 1

 

Soit  $ABCDEFGH$ un pavé droit et $I$ cette de $ABCD$,

On pose $overrightarrow{u} = 3overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{v} = \overrightarrow{BD} + overrightarrow{BE}$ et $overrightarrow{w} = 3overrightarrow{AI} + overrightarrow{IE}$

coplanaire1

Montrer que $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$ et $overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

$begin{aligned} \overrightarrow{u}  &= 3 \overrightarrow{AB} \ &= 3 \overrightarrow{AI} + 3overrightarrow{IB} \ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} + 2overrightarrow{IB} \ &= 3 \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EB} +2overrightarrow{IB} \ &= \overrightarrow{w} – \overrightarrow{BE} – \overrightarrow{BD} && \text{car \} I \text{ milieu de \} [BD] \ &= \overrightarrow{w} – \overrightarrow{v} end{aligned}$

Ainsi, $overrightarrow{u}$, $overrightarrow{v}$ et $overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

 

Exercice 2

coplanaire

Montrons que $overrightarrow{IL}$, $overrightarrow{BC}$ et $overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.

Dans le repère $(A, overrightarrow{AB}, overrightarrow{AC}, overrightarrow{AD})$, déterminons les coordonnées des $I$, $J$ et $L$.

$I \left ( dfrac{1}{2}; 0; 0 \right )$

$begin{aligned} \overrightarrow{AL}  &= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IL}  \ &=  overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IJ} \ &= \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{IA} + \dfrac{1}{2} overrightarrow{AJ}  \ &= \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AI} + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AJ} \ &= \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AD}  end{aligned}$

$L \left ( 0; dfrac{1}{4}; dfrac{1}{4} right )$

Calculons à présent les vecteurs $overrightarrow{IL}$, $overrightarrow{BC}$ et $overrightarrow{CD}$.

$overrightarrow{IL} \left ( \begin{array}{c} – \dfrac{1}{2} \ \dfrac{1}{4} \ \dfrac{1}{4} \end{array} \right )$

$overrightarrow{BC} \left ( \begin{array}{c} – 1 \ 1 \ 0 \end{array} \right )$

$overrightarrow{CD} \left ( \begin{array}{c} 0 \ -1 \ 1 \end{array} \right )$ 

On peut alors remarquer que $overrightarrow{IL} = dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC} + \dfrac{1}{4} overrightarrow{CD}$.

Ainsi, $overrightarrow{IL}$, $overrightarrow{BC}$ et $overrightarrow{CD}$ sont coplanaires.