Cours Stage - vecteurs et bases de l'espace

Exercice - Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace

L'énoncé

Répondre aux questions suivantes 


Question 1

Après construction, voici la figure finale.

coplanaire_EX

Après construction, voici la figure finale.

coplanaire_EX

On ne se préoccupera pas des grandeurs lors de la reproduction du tétraèdre. 

Question 2

Décomposer $\overrightarrow{DI}$ en faisant intervenir les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

Décomposons $\overrightarrow{DI}$ en faisant intervenir les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
$\begin{align} \overrightarrow{DI} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AI}  \\ &= -\overrightarrow{AD} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}&& \text{car } I \text{ milieu de} [AB]  \end{align}  $

On utilisera la relation de Chasles. 

Question 3

De même, déterminer l'expression de $\overrightarrow{DJ}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Déterminons l'expression de $\overrightarrow{DJ}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AC}$..
$\begin{align} \overrightarrow{DJ} &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AJ}  \\ &= -\overrightarrow{AD} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}&& \text{car } J \text{ milieu de} [AC]  \end{align}  $

On utilisera à nouveau la relation de Chasles. 

Question 4

Démontrer que $\overrightarrow{DF} = -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AC} -2 \overrightarrow{AD}$

On va montrer le résultat attendu.
$\begin{align} \overrightarrow{DF} & = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AF} \\ &= \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE}\\ &=\overrightarrow{DA} + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE}) \\&= \overrightarrow{DA} +(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}) + \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}\\ &=  -2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{2} (\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) \\  &= -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AC} -2 \overrightarrow{AD} \end{align}$

On utilisera encore la relation de Chasles.

Question 5

En déduire que les points $D$, $I$, $J$ et $F$ sont coplanaires. 

D'après les questions précédentes, $\overrightarrow{DI} = -\overrightarrow{AD} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} $ et $\overrightarrow{DJ} = -\overrightarrow{AD} +\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}$. 
En outre, on sait que $\overrightarrow{DF} = -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AC} -2 \overrightarrow{AD}$.
On remarque alors que $\overrightarrow{DF} = -\overrightarrow{DI}  + 3 \overrightarrow{DJ} $.
Ainsi, $\overrightarrow{DI}$, $\overrightarrow{DJ}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont coplanaires. $D$, $I$, $J$ et $F$ sont donc coplanaires. 

On cherchera à exprimer $\overrightarrow{DF}$ en fonction de $\overrightarrow{DI}$ et $\overrightarrow{DJ}$

Question 6

On se place désormais dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$. 
Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n} \left ( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right )$ est un vecteur normal au plan $(DIJ)$

On va montrer que $\overrightarrow{n}$ est normal à deux vecteurs du plan. On choisit pour cela les vecteurs $\overrightarrow{DI}$ et $\overrightarrow{DJ}$ dont on connait les coordonnées dans la base choisie. En effet, $\overrightarrow{DI}\left ( \begin{array}{c} \dfrac{1}{2} \\ 0 \\ -1 \end{array} \right )$ et $\overrightarrow{DJ}\left ( \begin{array}{c}0  \\ \dfrac{1}{2} \\ -1 \end{array} \right )$.
En outre, $\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{n} = 0.5 \times 2 - 1 \times 1 = 0$.
Et, $\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{n} = 0.5 \times 2 - 1 \times 1 = 0$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est donc normal au plan $(DIJ)$

On montrera par exemple que $\overrightarrow{n}$ est normal à deux vecteurs du plan. 

Question 7

En déduire une équation cartésienne du plan $(DIJ)$. 

D'après le cours, on sait qu'une équation cartésienne du plan $(DIJ)$ est $2x + 2y + z + d = 0$ avec $d$ un réel qu'il faut déterminer.
Comme $D$ appartient au plan, ses coordonnées vérifient l'équation.
$D \in (DIJ)$
$\iff 2\times 0 + 2 \times 0 + 1  + d= 0$
$\iff d = -1$.
Ainsi, une équation cartésienne du plan est $2x + 2y + z - 1 = 0$

On utilisera une propriété du cours liant équation cartésienne et vecteur normal.