Cours Stage - Limites, formes indéterminées, théorème des gendarmes
Exercice d'application

Exercice : calcul d'une limite

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^2+4}{4x^2+3x}$

On a :  $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}5x^2+4=+\infty$   et  $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}4x^2+3x=+\infty$

On a donc une forme indéterminée du type $\dfrac{+\infty}{\infty}$ 

On factorise par le terme de plus haut degré :

$\dfrac{5x^2+4}{4x^2+3x}= \dfrac{n^2}{n^2}\times\dfrac{5+\frac{4}{x^2}}{4+\frac{3}{x}}=\dfrac{5+\frac{4}{x^2}}{4+\frac{3}{x}}$

Or : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}5+\dfrac{4}{x^2}=5$   et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}{4+\dfrac{3}{x}}=4$

Donc par limite d'un quotient :$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5+\frac{4}{x^2}}{4+\frac{3}{x}}=\dfrac{5}{4}$

Et finalement : $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^2+4}{4x^2+3x}=\dfrac{5}{4}$