Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels dans l’intervalle $I$ tels que $aleqslant b $.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--21

 

La fonction représentée en bleu est continue sur $I=[a,b]$.

Pour $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on remarque graphiquement qu’il existe un $c_1$ dans $[a,b]$ tel que $f(c_1)=k$.

On voit, aussi qu’il existe deux autres $c_2$ et $c_3$ dans $[a,b]$ tels que $f(c_2)=k$ et $f(c_3)=k$. (D’où, dans le théorème, l’importance de l’expression “au moins”)

 

Cas des fonctions strictement monotones

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $[a,b]$ avec $aleqslant b$.

Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

 

Illustration graphique

--22

La fonction représentée en bleu est continue et strictement croissante sur $I=[2,4]$.

Pour $k$ compris entre $f(2)$ et $f(4)$, on remarque graphiquement qu’il existe un unique $c$ dans $[2,4]$ tel que $f(c)=k$.

Théorème des valeurs intermédiaires - Exercice

Soit (f(x) = x – e^x + 2 text{ avec } D_f = mathbb{R}).

Montrons qu’il existe une unique solution de (f(x) = 0) lorsque (x in [1 ; 2]).

Ce qu’il faut savoir faire :

  • Étape 1 : On précise que (f) est continue sur l’intervalle comme somme de fonctions continues.
  • Étape 2 : On calcule la dérivée (f’) pour étudier les variations de (f).
  • Étape 3 : On note que la fonction est strictement décroissante sur ([1 ; 2]).
  • Étape 4 : On calcule (f(1)) et (f(2)).
  • Étape 5 : On applique le théorème des valeurs intermédiaires : il existe un unique réel (alpha) tel que (f(alpha) = 0).