Cours PGCD de deux entiers, algorithme d'Euclide
Exercice d'application

Exercice : PPCM et PGCD

1) Trouvez deux nombres $a$ et $b$ sachant que leur PGCD est 24 et leur PPCM est 1344.

2) Trouvez deux entiers dont la différence entre leur PPCM et leur PGCD est 187

1) 24 étant le PGCD de $a$ et $b$, par définition on a l'existence de 2 entiers $c$ et $d$ tels que :

$a=24c$ ,  $b=24d$   et   $PGCD(c;d)=1$

On a : $PPCM(c;d)=c \times d$ (car $PGCD(u;v) \times PPCM(u;v)=\vert u \times v \vert $)

De plus : $PPCM(a;b)=1344=PPCM(24c;24d)=24 \times PPCM(c;d)$

Donc d'après ce qui précède : $PPCM(a;b)=1344=24 \times c \times d$

Ainsi $c \times d=56$

 

En décomposant 56 en produit de facteurs premiers on obtient : $56=2^2 \times 7$

 

Supposons $c \neq d$ car sinon $a=b$ et l'exercice perd tout son intérêt.

On peut donc supposer que $c>d$

Rappelons nous que $PGCD(c;d)=1$

Cas 1 : $d=1$ donc $c=56$

Alors $a=24$ et $b=1344$

 

Cas 2 : $d=7$ donc $c= 2^3$

Alors $a=168$ et $b=192$

En supposant que $c<d$ deux autres couples apparaissent.

 

2) Soient $a$ et $b$ les deux entiers recherchés.

Notons $m$ leur PPCM et $d$ leur PGCD.

D'après l'énoncé $m-d=187$ (le PPCM est toujours plus grand que le PGCD).

D'après le cours $m \vert d$ et il est évident que $d \vert d$ donc $d \vert 187$.

Or $187=11 \times 17$ donc $d=1$ ou $d=11$ ou $d=17$ ou $d=187$.

 

Choisissons le cas le plus simple : $d=1$

Alors $m=188$ cars $m-d=187$

De plus par définition $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

D'après le cours $dm=ab$ donc $ab=188$

Décomposons 188 : $188=2^2 \times 47$

Ainsi le couple $(4;47)$ convient.