Cours L'incontournable du chapitre
Exercice d'application

Exercice : Arithmétique, congruences

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.

Proposition 1 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs $(x ; y)$ solutions de l’équation $12x − 5y = 3$ est l’ensemble des couples $(4 + 10k ; 9 + 24k)$ où $k \in \mathbb{Z}$  ».

Proposition 2 : Pour tout entier naturel $n$ non nul : «  $5^{6n+1}+2^{3n+1}$  est divisible par 5 ».

Proposition 3 : Pour tout entier naturel $n$ non nul : « Si un entier naturel $n$ est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de $3n + 4$ et de $4n + 3$ est égal à 7 ».

Proposition 4 : « $x^2+x+3\equiv 0[5]$      $\text{si et seulement si}$       $x \equiv 1[5] $ ».

Proposition 5 : Deux entiers naturels $M$ et $N$ sont tels que $M$ a pour écriture abc en base dix ($M$ vaut $100a+10b+c$ où $a, b$ et $c$ sont des chiffres entre 0 et 9)  et $N$ a pour écriture bca en base dix.

« Si l’entier $M$ est divisible par $27$ alors l’entier $M - N$ est aussi divisible par $27$ ».

Proposition 1 : Faux.

12 et 5 sont premiers entre eux. L’équation a des solutions , en particulier le couple $(9; 21)$ .

On opère de manière standard :

$\begin{cases} 12x-5y=3 \\ 12 \times 9 -5 \times 21 =3  \end{cases} \Rightarrow 12 (x-9)-5(y-21)=0 \Rightarrow \begin{cases} x-9=5k \\ y-21 =12k  \end{cases}\Rightarrow$

$\begin{cases} x=9+5k \\ y= 21+12k \end{cases} $ ;

Les couples $(4 + 10k ; 9 + 24k)$ ne sont qu’une partie des couples solutions (la solution (9; 21) n’en fait même pas partie…).

 

Proposition 2 : Faux. 

$5^{6n+1}$  est évidemment divisible par 5 ; $2^{3n+1}$ n’est formé que de puissances de $2$, aucun de ces nombres ne sont divisibles par $5$.

 

Proposition 3 : Vrai.

Prenons  $n=1+7k$ et remplaçons : $3n+4=3+21k=7+21k=7(1+3k)$  puis  $4n+3=4(1+7k)+3=7+28k=7(1+4k)$.

Si le PGCD vaut $7$, alors $1+3k$ et  $1+4k$ doivent être premiers entre eux : on doit trouver $u$ et $v$ tels que :

$u(1+4k)+v(1+3k)=1  \Rightarrow   \begin{cases} u+v=1 \\ 4u+3v= 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u=-3 \\ v= 4 \end{cases} $. Ok.

 

Proposition 4 : Faux.

On teste tous les restes modulo 5 :

$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$x^2+x+3$ $3$ $0$ $4$ $0$ $3$

 Donc faux puisqu’on a aussi $3$ comme solution possible.

 

Proposition 5 : Vrai

$\begin{cases} M=100a+10b+c \\ N= 100b+10c +a  \end{cases} \Rightarrow M-N=99a-90b-9c=9(11a-10b-c)$.

$M-N$ est donc divisible par $9$. Montrons à présent que $(11a-10b-c)$ est divisible par 3 : 

Si $M=100a+10b+c$ est un multiple de $27$, comme $108=4 \times 27$, on a :

$-8a+10b+c \equiv [27]\Rightarrow 10b+c =8a+27k$. 

Pour que  soit divisible $M-N$ par $27$, il faut que  $11a-10b-c = 11a-8a-27k =3a-27k$ soit divisible par $3$, ce qui est le cas.