Exercice de spécialité - Annale Bac
Les entiers naturels $1; \ 11; \ 111; \ 1 111; ...$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des $1$.
Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s’écrivant avec $p$ fois le chiffre 1 :
$N_p = 11... 1$ avec $p$ répétitions du chiffre $1$.
$N_p=\displaystyle\sum_{k=0}^{k= p−1} 10^k$ .
Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.
L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.
Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers.
1. Montrer que $Np$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.
2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par
3. a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10j \equiv 1 $ mod $ 3$.
b. En déduire que $N_p \equiv p $ mod $ 3$.
c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par $3$.
3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à $\{−3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}$ tel que :
$10m \equiv a $ mod $ 7$. On ne demande pas de justification.
| m | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| a |
b. Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10p \equiv 1 $ mod $ 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.
On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.
Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait
1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à- dire $n^2 ≡ 1 $ mod $ 10$.
a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.
| $n\equiv ....[10]$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ |
| $n^2\equiv ....[10]$ |
b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que : $n = 10m +1$ ou $n = 10m −1$.
c. Conclure que $n^2 ≡ 1 $ mod $ 20$.
2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?
3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le rep-unit $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.