Cours Annale - Divisibilité, congruence
Exercice d'application

Exercice de spécialité - Annale Bac

Les entiers naturels $1; \ 11; \ 111; \ 1 111; ...$ sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s’écrivant qu’avec des $1$.

Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s’écrivant avec $p$ fois le chiffre 1 :

$N_p = 11... 1$  avec $p$ répétitions du chiffre $1$.

$N_p=\displaystyle\sum_{k=0}^{k= p−1} 10^k$ .

Dans tout l’exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.

L’objet de cet exercice est d’étudier quelques propriétés des rep-units.

 

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers.

1. Montrer que $Np$ n’est divisible ni par $2$ ni par $5$.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par

3. a. Prouver que, pour tout entier naturel $j$, $10j \equiv 1 $ mod $ 3$.

    b. En déduire que $N_p \equiv p $ mod $ 3$.

    c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit $N_p$ soit divisible par $3$.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.

    a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l’unique entier relatif appartenant à $\{−3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\}$ tel que :

    $10m \equiv a $ mod $ 7$.  On ne demande pas de justification.

m $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
a              

    b. Soit $p$ un entier naturel non nul. Montrer que $10p \equiv 1 $ mod $ 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.

    On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.

 

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à $1$ n’est jamais un carré parfait

1. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On suppose que l’écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre $1$, c’est-à- dire $n^2 ≡ 1 $ mod $ 10$.

   a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

$n\equiv ....[10]$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$
$n^2\equiv ....[10]$                    


   b. En déduire qu’il existe un entier naturel $m$ tel que : $n = 10m +1$ ou $n = 10m −1$.

   c. Conclure que $n^2 ≡ 1 $ mod $ 20$.

2. Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par $20$ ?

3. En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à $2$, le rep-unit $N_p$ n’est pas le carré d’un entier.