Annale – Arithmétique et matrices

Divisibilité et division euclidienne

Divisibilité et division euclidienne

 

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.

On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.

On note $b|a$.

 

Propriétés

Pour $a$ non nul, $a|a$.

Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.

 

Exemple

Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a \in \mathbb{N}$.

 

étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.

$N=a(a^2-1)$

$N=a(a-1)(a+1)$

$N=(a-1)a(a+1)$

étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k \in \mathbb{N}$).

$N=(2k-1)2k(2k+1)$

étape 4 : $N$ s’écrit sous la forme d’un produit d’un entier et de 2, donc $N$ est pair.

étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.

$N=(2k+1)2k(2k+2)$

On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans tous les cas ($a$ pair ou impair).

étape 6 : Si $a$ est multiple de 3, alors $a=3k$. On remplace $a$ par $3k$.

$N=(3k-1)3k(3k+1)$ On en conclut que $N$ est multiple de 3.

étape 7 : On répËte la mÍme opération avec $a=3k+1$ puis avec $a=3k+2$.

Dans ces deux cas, on verra apparaître un multiple de 3. On en conclut que $N$ est divisible par 3.

$N$ est divisible par 2 et 3 donc $N$ est divisble par 6.

 

Division euclidienne dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers naturels et $b$ non nul.

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ revient à déterminer l’unique couple $(q;r)$ d’entiers naturels tels que :

$a=bq+r$ avec $0\leqslant r<b$.

On nomme $q$ le quotient et $r$ le reste.

Exemple

Déterminer le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de 753 par 82.

 

On a : $753=82\times 9+15$.

On obtient donc : $q=9$ et $r=15$. On vérifie que 15 est strictement inférieur à 82

 

Les nombres premiers

Les nombres premiers

 

Définition

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

$n$ est premier si et seulement si $n$ admet deux diviseurs : 1 et lui-même.

 

Théorème

Tout $n\in \mathbb{N}$ avec $n\geq 2$ admet au moins un diviseur premier.

Si $n$ n’est pas premier et $n\geq 2$ alors il admet un diviseur premier compris entre 2 et $\sqrt{n}$

 

Décomposition en facteurs premiers

 

Théorème

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers.

Cette décomposition est unique à l’ordre près des facteurs.

$\;n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ……… p_r^{\alpha_r}\;$   

Avec  ${p_i}, {i \in \{1;r\}}$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_i, {i \in \{1;r\}}$ des entiers.

 

Exemple

On décompose 96 en produit de facteurs premiers :

étape 1 : On cherche à diviser 96 par un nombre premier.

étape 2 : On commence par le plus simple, à savoir 2.

étape 3 : On continue tant qu’on peut diviser par 2 ou par les entiers premiers suivants.

étape 4 : On s’arrête lorsque le reste vaut 1.

étape 5 : On peut donc réécrire 96 comme une décomposition de facteurs premiers :

$96=2^5 \times 3$

Matrice et système linéaire

Matrices et systèmes d’équations linéaires

 

Définition

On considère le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}x+y+2z & = &9  \\ x-y+z&=&2 \\ 2x+y-z & = & 1   \\ \end{array} \right.$ 

Pour le résoudre, on peut utiliser les matrices :

$A =\begin{pmatrix}
1 & 1&2 \\
1 & -1&1\\
2 & 1&-1\\
\end{pmatrix}$   ;  $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
z\\
\end{pmatrix} $   et

  $B =\begin{pmatrix}
9\\
2\\
1\\
\end{pmatrix}.  $ 

Le système se traduit alors par :  $AX=B$.

 

Propriété

 

Si $AX=B$ et $A$ inversible alors

$X=A^{-1} \times B$.

Etape 1 : Au Bac, la matrice inverse $A^{-1}$ est donnée dans l’énoncé.

Etape 2 : On effectue le produit $X=A^{-1} \times B$.

Le calcul nous permet de conclure que :

$X =\begin{pmatrix}
1 \\
2\\
3\\
\end{pmatrix} $.

La solution du système est donc le triplet $(1;2;3)$.

 

Exemple avec un système linéaire d’équations d’ordre 2.

Résoudre le système d’équations suivant :

$\left \{ \begin{array}{rccc}2x-y & = &-8   \\3x+y& = &-7   \\ \end{array} \right.$ 

On peut le traduire par  $AX=B$ avec : 

$A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$   ;   $X =\begin{pmatrix}
x \\
y\\
\end{pmatrix} $    et   

$B =\begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}$.

En considérant $A =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$, on vérifie que :

$ad-bc =5 \neq 0$.

On peut alors calculer :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$   

$\iff$   $A^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix}$.

On a donc :

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\
-\dfrac{3}{5} & \dfrac{2}{5}\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
-8 \\
-7\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
-\dfrac{15}{5} \\
\dfrac{10}{5}\\
\end{pmatrix}$.

$X=\begin{pmatrix}
-3 \\
2\\
\end{pmatrix}$.

La solution du système est le couple $(-3;2)$

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