Cours Stage - Divisibilité et congruence

Divisibilité et division euclidienne

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Fiche de cours

Divisibilité et division euclidienne

 

Divisibilité dans $\mathbb{Z}$

 

Définition

Soient $a$ et $b$, deux entiers relatifs, avec $b$ non nul.

On dit que $b$ divise $a$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$.

On note $b|a$.

 

Propriétés

Pour $a$ non nul, $a|a$.

Pour $a$, $b$ et $c$ non nuls, si $a|b$ et $b|c$ alors $a|c$.

 

Exemple

Montrer que $N=a(a^2-1)$ est divisible par 6 lorsque $a \in \mathbb{N}$.

 

étape 1 : $N$ est divisible par 6 si et seulement si il est divisible par 2 et par 3.

étape 2 : On réécrit $N$ grâce à une identité remarquable pour faire apparaître un produit de trois nombres consécutifs.

$N=a(a^2-1)$

$N=a(a-1)(a+1)$

$N=(a-1)a(a+1)$

étape 3 : Si $a$ est pair, on remplace $a$ par $2k$ ($k \in \mathbb{N}$).

$N=(2k-1)2k(2k+1)$

étape 4 : $N$ s'écrit sous la forme d'un produit d'un entier et de 2, donc $N$ est pair.

étape 5 : Si $a$ est impair, on remplace $a$ par $2k+1$.

$N=(2k+1)2k(2k+2)$

On arrive à la mÍme conclusion et $N$ est donc divisible par 2 dans

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