Exercice : Divisibilité
Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que, si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise 1.
Que peut-on en déduire ?
Soit $n$ un entier naturel.
Si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise $(-2) (5n+7) + 5 (2n+3)$.
(On applique ici la propriété du cours : « si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $ua+bv$ » avec $c=k$, $a=5n+7$, $b=2n+3$, $u=-2$ et $v=5$.)
Donc si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise 1.
Or les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1, donc je peux en déduire que : « si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors k égale 1 ou -1 ».
Remarque : ceci signifie que les seuls diviseurs communs possibles à $5n+7$ et $2n+3$ sont 1 et -1, on dit qu'ils sont premiers entre eux.