Cours Stage - Divisibilité et congruence
Exercice d'application

Exercice : Divisibilité

Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que, si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise 1.

Que peut-on en déduire ?

Soit $n$ un entier naturel.

Si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise $(-2) (5n+7) + 5 (2n+3)$.

(On applique ici la propriété du cours : « si $c$ divise $a$ et $b$ alors $c$ divise $ua+bv$ » avec  $c=k$, $a=5n+7$, $b=2n+3$, $u=-2$ et $v=5$.)

 

Donc si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors $k$ divise 1.

Or les seuls diviseurs de 1 sont 1 et -1, donc je peux en déduire que : « si un entier $k$ divise $5n+7$ et $2n+3$, alors k égale 1 ou -1 ».

Remarque : ceci signifie que les seuls diviseurs communs possibles à $5n+7$ et $2n+3$ sont 1 et -1, on dit qu'ils sont premiers entre eux.